Номер 119, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 119, страница 33.

119. Представьте в виде дроби:

a) 5a³3b²⁴;

б) 2x²3y³⁵;

в) -10m²n²p³;

г) -b³c²8a³².

a) ${\left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)}^4=\frac{625a^{12}}{81b^8};$

б) ${\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)}^5=\frac{32x^{10}}{243y^{15}};$

в) ${\left(-\frac{10m^2}{n^{2}p}\right)}^3=-\frac{1000m^6}{n^6{p}^3};$

г) ${\left(-\frac{b^3{c}^2}{8a^3}\right)}^2=\frac{b^6{c}^4}{64a^6}$

а) Чтобы представить выражение $(\frac{5a^3}{3b^2})^4$ в виде дроби, нужно возвести в четвертую степень и числитель, и знаменатель дроби, используя свойство степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{5a^3}{3b^2})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4}$
Затем применяем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю:
$\frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4} = \frac{625 \cdot a^{3 \cdot 4}}{81 \cdot b^{2 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8}$
Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, возводим дробь $(\frac{2x^2}{3y^3})^5$ в пятую степень.
$(\frac{2x^2}{3y^3})^5 = \frac{(2x^2)^5}{(3y^3)^5}$
Применяем свойства степеней:
$\frac{2^5 \cdot (x^2)^5}{3^5 \cdot (y^3)^5} = \frac{32 \cdot x^{2 \cdot 5}}{243 \cdot y^{3 \cdot 5}} = \frac{32x^{10}}{243y^{15}}$
Ответ: $\frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

в) Возводим дробь $(-\frac{10m^2}{n^2p})^3$ в третью степень. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.
$(-\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -(\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -\frac{(10m^2)^3}{(n^2p)^3}$
Применяем свойства степеней к числителю и знаменателю:
$-\frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{(n^2)^3 \cdot p^3} = -\frac{1000 \cdot m^{2 \cdot 3}}{n^{2 \cdot 3} \cdot p^3} = -\frac{1000m^6}{n^6p^3}$
Ответ: $-\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

г) Возводим дробь $(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2$ во вторую степень. Так как степень четная (2), знак минус исчезает, поскольку отрицательное число в четной степени становится положительным.
$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2}$
Применяем свойства степеней:
$\frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2}}{64 \cdot a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$
Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$