Номер 122, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 122, страница 33.

122. Выполните умножение:

a) (3a - 15b) ∙8a² - 25b²;

б) (x² - 4) ∙ 2x(x + 2)²;

в) y3y² - 12 ∙ (y² - 4y + 4);

г) 2aba² - 6ab + 9b² ∙ (a² - 9b²).

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(3a-15b)·\frac{8}{a^2-25b^2}= \\ =\frac{3(a-5b)·8}{(a-5b)(a+5b)}=\frac{24}{a+5b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(x^2-4)·\frac{2x}{{(x+2)}^2}=\frac{(x-2)(x+2)·2x}{{(x+2)}^2}= \\ =\frac{2x(x-2)}{x+2}=\frac{2x^2-4x}{x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y}{3y^2}·(y^2-4y+4)=\frac{y{(y-2)}^2}{3(y^2-4)}= \\ =\frac{y{(y-2)}^2}{3(y-2)(y+2)}=\frac{y(y-2)}{3(y+2)}=\frac{y^2-2y}{3y+6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2ab}{a^2-6ab+9b^2}·(a^2-9b^2)= \\ =\frac{2ab·(a-3b)(a+3b)}{{(a-3b)}^2}= \\ =\frac{2ab(a+3b)}{a-3b}=\frac{2a^{2}b+6a{b}^2}{a-3b} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
1. Запишем выражение в виде дроби: $\frac{(3a - 15b) \cdot 8}{a^2 - 25b^2}$.
2. В выражении $(3a - 15b)$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a - 5b)$.
3. Знаменатель $a^2 - 25b^2$ разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
4. Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{3(a - 5b) \cdot 8}{(a - 5b)(a + 5b)}$.
5. Сократим общий множитель $(a - 5b)$: $\frac{3 \cdot 8}{a + 5b} = \frac{24}{a + 5b}$.
Ответ: $\frac{24}{a + 5b}$

б) Чтобы выполнить умножение $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}$, разложим на множители выражение в скобках.
1. Запишем всё в виде одной дроби: $\frac{(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x + 2)^2}$.
2. Выражение $x^2 - 4$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
3. Подставим разложенное выражение в дробь: $\frac{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)^2}$.
4. Знаменатель $(x + 2)^2$ можно записать как $(x+2)(x+2)$. Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$: $\frac{(x - 2) \cdot 2x}{x + 2} = \frac{2x(x - 2)}{x + 2}$.
Ответ: $\frac{2x(x - 2)}{x + 2}$

в) Чтобы выполнить умножение $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4)$, разложим на множители числитель и знаменатель получившейся дроби.
1. Запишем выражение в виде одной дроби: $\frac{y \cdot (y^2 - 4y + 4)}{3y^2 - 12}$.
2. Выражение $y^2 - 4y + 4$ в числителе является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$.
3. В знаменателе $3y^2 - 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(y^2 - 4)$. Затем применим формулу разности квадратов: $3(y-2)(y+2)$.
4. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{y \cdot (y - 2)^2}{3(y - 2)(y + 2)}$.
5. Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$.
Ответ: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$

г) Чтобы выполнить умножение $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2)$, разложим на множители числитель и знаменатель.
1. Запишем выражение в виде одной дроби: $\frac{2ab \cdot (a^2 - 9b^2)}{a^2 - 6ab + 9b^2}$.
2. Знаменатель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.
3. Выражение в числителе $a^2 - 9b^2$ разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.
4. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{2ab \cdot (a - 3b)(a + 3b)}{(a - 3b)^2}$.
5. Сократим дробь на общий множитель $(a - 3b)$: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$.
Ответ: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$