Номер 129, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 129, страница 34.

129. Упростите выражение:

a) x² - 10x + 253x + 12 ∙ x² - 162x - 10;

б) 1 - a²4a + 8b ∙ a² + 4ab + 4b²3 - 3a;

в) y² - 25y² + 12y + 36 ∙ 3y + 182y + 10;

г) b³ + 818b² + 27b ∙ 2b + 3b² - 2b + 4.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-10x+25}{3x+12}·\frac{x^2-16}{2x-10}= \\ =\frac{{(x-5)}^2(x-4)(x+4)}{3(x+4)·2(x-5)}= \\ =\frac{(x-5)(x-4)}{6}=\frac{x^2-4x-5x+20}{6}= \\ =\frac{x^2-9x+20}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1-a^2}{4a+8b}·\frac{a^2+4ab+4b^2}{3-3a}= \\ =\frac{(1-a)(1+a){(a+2b)}^2}{4(a+2b)·3(1-a)}= \\ =\frac{(1+a)(a+2b)}{12}=\frac{a+2b+a^2+2ab}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y^2-25}{y^2+12y+36}·\frac{3y+18}{2y+10}= \\ =\frac{(y-5)(y+5)·3(y+6)}{{(y+6)}^2·2(y+5)}= \\ =\frac{(y-5)·3}{(y+6)·2}=\frac{3y-15}{2y+12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b^3+8}{18b^2+27b}·\frac{2b+3}{b^2-2b+4}= \\ =\frac{(b+2)(b^2-2b+4)(2b+3)}{9b(2b+3)(b^2-2b+4)}=\frac{b+2}{9b} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10} $, разложим на множители числители и знаменатели дробей. Числитель первой дроби $ x^2 - 10x + 25 $ является полным квадратом разности: $ (x-5)^2 $. Знаменатель первой дроби $ 3x + 12 $ упрощается вынесением общего множителя за скобки: $ 3(x+4) $. Числитель второй дроби $ x^2 - 16 $ является разностью квадратов: $ (x-4)(x+4) $. Знаменатель второй дроби $ 2x - 10 $ упрощается вынесением общего множителя: $ 2(x-5) $. Подставим разложенные на множители выражения в исходное: $ \frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)} $. Теперь перемножим дроби и сократим общие множители $ (x-5) $ и $ (x+4) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{(x-5)^2(x-4)(x+4)}{3(x+4) \cdot 2(x-5)} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

Ответ: $ \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

б) Для упрощения выражения $ \frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $ разложим на множители числители и знаменатели. $ 1 - a^2 = (1-a)(1+a) $ (формула разности квадратов). $ 4a + 8b = 4(a+2b) $ (вынесение общего множителя). $ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 $ (формула квадрата суммы). $ 3 - 3a = 3(1-a) $ (вынесение общего множителя). Подставим полученные выражения и выполним умножение: $ \frac{(1-a)(1+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)} = \frac{(1-a)(1+a)(a+2b)^2}{4(a+2b) \cdot 3(1-a)} $. Сократим общие множители $ (1-a) $ и $ (a+2b) $: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{4 \cdot 3} = \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

Ответ: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

в) Упростим выражение $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $, разложив на множители его части. $ y^2 - 25 = (y-5)(y+5) $ (разность квадратов). $ y^2 + 12y + 36 = (y+6)^2 $ (квадрат суммы). $ 3y + 18 = 3(y+6) $ (вынесение общего множителя). $ 2y + 10 = 2(y+5) $ (вынесение общего множителя). Подставим полученные выражения в исходное: $ \frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)} = \frac{(y-5)(y+5) \cdot 3(y+6)}{(y+6)^2 \cdot 2(y+5)} $. Сократим общие множители $ (y+5) $ и $ (y+6) $: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

Ответ: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

г) Для упрощения выражения $ \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} $ разложим на множители числители и знаменатели. $ b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - 2b + 4) $ (формула суммы кубов). $ 18b^2 + 27b = 9b(2b+3) $ (вынесение общего множителя). Выражение $ b^2 - 2b + 4 $ в знаменателе второй дроби является неполным квадратом разности и на действительные множители не раскладывается. Подставим полученные разложения в исходное выражение: $ \frac{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}{9b(2b+3)} \cdot \frac{2b+3}{b^2 - 2b + 4} $. Перемножим дроби и сократим общие множители $ (2b+3) $ и $ (b^2 - 2b + 4) $: $ \frac{(b+2)(b^2 - 2b + 4)(2b+3)}{9b(2b+3)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b+2}{9b} $.

Ответ: $ \frac{b+2}{9b} $.