Номер 131, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 131, страница 34.

131. Упростите выражение

a² - 4ac + 3bca² - ab + bc - ac +a + 3bb - a +a + 2ca - c.

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4ac+3bc}{a^2-ab+bc-ac}+\frac{a+3b}{b-a}+\frac{a+2c}{a-c}= \\ =\frac{a^2-4ac+3bc}{(a^2-ab)+(bc-ac)}+\frac{a+3b}{b-a}+\frac{a+2c}{a-c}= \\ =\frac{a^2-4ac+3bc}{a(a-b)+(b-c)}-\frac{a+3b}{a-b}+ \\ +\frac{a+2c}{a-c}=\frac{a^2-4ac+3bc}{(a-c)(a-b)}- \\ -\frac{(a+3b)(a-c)}{(a-c)(a-b)}+\frac{(a+2c)(a-b)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}{a}^2-4ac+3bc-(a^2-ac+3ab-\\ -3bc)+a^2-ab+2ac-2bc\end{array}}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}{\bcancel{a}}^2-4ac+3bc-{\bcancel{a}}^2+ac-3ab+\\ +3bc+a^2-ab+2ac-2bc\end{array}}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{a^2-4ab+4bc-ac}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{(a^2-ac)-(4ab-4bc)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{a(a-c)-4b(a-c)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{(a-4b)(a-c)}{(a-c)(a-b)}=\frac{a-4b}{a-b} \end{gathered}$$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для начала преобразуем знаменатель первой дроби и вторую дробь.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби $ a^2 - ab + bc - ac $ методом группировки:

$ a^2 - ab + bc - ac = (a^2 - ab) + (bc - ac) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) $

2. Преобразуем вторую дробь $ \frac{a + 3b}{b - a} $. Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки:

$ \frac{a + 3b}{b - a} = \frac{a + 3b}{-(a - b)} = -\frac{a + 3b}{a - b} $

3. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{a + 2c}{a - c} $

4. Общим знаменателем для всех дробей является выражение $ (a - b)(a - c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a - c) $, а третьей — на $ (a - b) $:

$ \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{(a + 3b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)} $

5. Выполним действия с дробями, записав всё под общим знаменателем:

$ \frac{(a^2 - 4ac + 3bc) - (a + 3b)(a - c) + (a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)} $

6. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (a + 3b)(a - c) = a^2 - ac + 3ab - 3bc $

$ (a + 2c)(a - b) = a^2 - ab + 2ac - 2bc $

Числитель примет вид:

$ a^2 - 4ac + 3bc - (a^2 - ac + 3ab - 3bc) + (a^2 - ab + 2ac - 2bc) = $

$ = a^2 - 4ac + 3bc - a^2 + ac - 3ab + 3bc + a^2 - ab + 2ac - 2bc = $

$ = (a^2 - a^2 + a^2) + (-3ab - ab) + (-4ac + ac + 2ac) + (3bc + 3bc - 2bc) = $

$ = a^2 - 4ab - ac + 4bc $

7. Теперь разложим получившийся числитель $ a^2 - 4ab - ac + 4bc $ на множители методом группировки:

$ (a^2 - 4ab) - (ac - 4bc) = a(a - 4b) - c(a - 4b) = (a - 4b)(a - c) $

8. Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (a - c) $:

$ \frac{(a - 4b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} = \frac{a - 4b}{a - b} $

Ответ: $ \frac{a - 4b}{a - b} $.