Номер 125, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 125, страница 34.

125. Представьте в виде дроби:

a) a² - 1a - b ∙ 7a - 7ba² + a;

б) b² + 2bcb + 3 ∙ 5b + 15b² - 4c²;

в) (x + 3)²2x - 4 ∙ x² - 43x + 9;

г) (5 - y)²2y + 12 ∙ y² - 362y - 10.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-1}{a-b}·\frac{7a-7b}{a^2+a}=\frac{(a-1)(a+1)·7(a-b)}{(a-b)a(a+1)}= \\ =\frac{7(a-1)}{a}=\frac{7a-7}{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b^2+2bc}{b+3}·\frac{5b+15}{b^2-4c^2}= \\ =\frac{b(b+2c)·5(b+3)}{(b+3)·(b-2c)(b+2c)}=\frac{5b}{b-2c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(x+3)}^2}{2x-4}·\frac{x^2-4}{3x+9}=\frac{{(x+3)}^2·(x-2)(x+2)}{2(x-2)·3(x+3)}= \\ =\frac{(x+3)(x+2)}{6}=\frac{x^2+2x+3x+6}{6}= \\ =\frac{x^2+5x+6}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{{(5-y)}^2}{2y+12}·\frac{y^2-36}{2y-10}= \\ =\frac{{(y-5)}^2·(y-6)(y+6)}{2(y+6)·2(y-5)}=\frac{(y-5)(y-6)}{4}= \\ =\frac{y^2-6y-5y+30}{4}=\frac{y^2-11y+30}{4} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить произведение дробей в виде одной дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения сначала разложим числители и знаменатели на множители.
Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a} $.
Разложим на множители:
$ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $ (формула разности квадратов).
$ 7a - 7b = 7(a - b) $ (вынесение общего множителя).
$ a^2 + a = a(a + 1) $ (вынесение общего множителя).
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - b} \cdot \frac{7(a - b)}{a(a + 1)} $.
Теперь выполним умножение и сократим общие множители $ (a - b) $ и $ (a + 1) $:
$ \frac{(a - 1)(a + 1) \cdot 7(a - b)}{(a - b) \cdot a(a + 1)} = \frac{7(a - 1)}{a} = \frac{7a - 7}{a} $.
Ответ: $ \frac{7a - 7}{a} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 - 4c^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$ b^2 + 2bc = b(b + 2c) $.
$ 5b + 15 = 5(b + 3) $.
$ b^2 - 4c^2 = b^2 - (2c)^2 = (b - 2c)(b + 2c) $ (формула разности квадратов).
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{b(b + 2c)}{b + 3} \cdot \frac{5(b + 3)}{(b - 2c)(b + 2c)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (b + 3) $ и $ (b + 2c) $:
$ \frac{b(b + 2c) \cdot 5(b + 3)}{(b + 3) \cdot (b - 2c)(b + 2c)} = \frac{5b}{b - 2c} $.
Ответ: $ \frac{5b}{b - 2c} $.

в) Исходное выражение: $ \frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9} $.
Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$ 2x - 4 = 2(x - 2) $.
$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $ (формула разности квадратов).
$ 3x + 9 = 3(x + 3) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(x + 3)^2}{2(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{3(x + 3)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (x - 2) $ и $ (x + 3) $:
$ \frac{(x + 3)(x + 3) \cdot (x - 2)(x + 2)}{2(x - 2) \cdot 3(x + 3)} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{2 \cdot 3} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{6} $.
Ответ: $ \frac{(x + 3)(x + 2)}{6} $.

г) Исходное выражение: $ \frac{(5 - y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} $.
Разложим на множители числители и знаменатели. Учтем, что $ (5 - y)^2 = (-(y - 5))^2 = (y - 5)^2 $.
$ 2y + 12 = 2(y + 6) $.
$ y^2 - 36 = (y - 6)(y + 6) $ (формула разности квадратов).
$ 2y - 10 = 2(y - 5) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(y - 5)^2}{2(y + 6)} \cdot \frac{(y - 6)(y + 6)}{2(y - 5)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (y + 6) $ и $ (y - 5) $:
$ \frac{(y - 5)(y - 5) \cdot (y - 6)(y + 6)}{2(y + 6) \cdot 2(y - 5)} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{2 \cdot 2} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{4} $.
Ответ: $ \frac{(y - 5)(y - 6)}{4} $.