Номер 124, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 124, страница 34.

124. Упростите выражение:

a) y² - 1610xy ∙ 5y3y + 12;

б) b - aa ∙ 3aba² - b².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{y^2-16}{10xy}·\frac{5y}{3y+12}=\frac{(y-4)(y+4)·5y}{10xy·3(y+4)}= \\ =\frac{y-4}{2x·3}=\frac{y-4}{6x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b-a}{a}·\frac{3ab}{a^2-b^2}=\frac{(b-a)·3ab}{a(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{-3b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=-\frac{3b}{a+b} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12}$, необходимо разложить на множители числители и знаменатели дробей, а затем сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2-16 = y^2-4^2 = (y-4)(y+4)$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:

$3y+12 = 3(y+4)$

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное произведение:

$\frac{(y-4)(y+4)}{10xy} \cdot \frac{5y}{3(y+4)}$

4. Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители это $(y+4)$, $y$ и $5$.

$\frac{(y-4)\cancel{(y+4)}}{\cancel{10}^2x\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{5}\cancel{y}}{3\cancel{(y+4)}} = \frac{y-4}{2x \cdot 3} = \frac{y-4}{6x}$

Ответ: $\frac{y-4}{6x}$

б) Упростим выражение $\frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2}$.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

2. В числителе первой дроби вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить множитель $(a-b)$:

$b-a = -(a-b)$

3. Подставим полученные выражения в исходное произведение:

$\frac{-(a-b)}{a} \cdot \frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$

4. Сократим общие множители $(a-b)$ и $a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-\cancel{(a-b)}}{\cancel{a}} \cdot \frac{3\cancel{a}b}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{-1 \cdot 3b}{a+b} = -\frac{3b}{a+b}$

Ответ: $-\frac{3b}{a+b}$