Номер 126, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 126, страница 34.

126. Найдите значение выражения:

a) 5mn - m4m + n ∙ 16m² - n²5n - 1 если m =14, n = –3;

б) (x + 2)²3x + 9 ∙ 2x + 6x² - 4 если x = 0,5; –1,5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5mn-m}{4m+n}·\frac{16m^2-n^2}{5n-1}= \\ =\frac{m(5n-1)·(4m-n)(4m+n)}{(4m+n)(5n-1)}=m(4m-n) \end{gathered}$$

если $m=\frac{1}{4}, n=-3,$ то

$\frac{1}{4}·(4·\frac{1}{4}-(-3\left)\right)=\frac{1}{4}(1+3)=\frac{4}{4}=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(x+2)}^2}{3x+9}·\frac{2x+6}{x^2-4}=\frac{{(x+2)}^2·2(x+3)}{3(x+3)(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{2(x+2)}{3(x-2)}=\frac{2x+4}{3x-6} \end{gathered}$$

если $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ то

$$\begin{gathered} \frac{2·0,5+4}{3·0,5-6}=\frac{5}{1,5-6}=\frac{5}{-4,5}=-\frac{50}{45}= \\ =-\frac{10}{9}=-1\frac{1}{9} \end{gathered}$$

если $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ то

$$\begin{gathered} \frac{2·(-1,5)+4}{3·(-1,5)-6}=\frac{-3+4}{-4,5-6}=\frac{1}{-10,5}= \\ =-\frac{10}{105}=-\frac{2}{21} \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $m$:
$5mn-m = m(5n-1)$.

Числитель второй дроби является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$16m^2-n^2 = (4m)^2-n^2 = (4m-n)(4m+n)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное:

$\frac{5mn-m}{4m+n} \cdot \frac{16m^2-n^2}{5n-1} = \frac{m(5n-1)}{4m+n} \cdot \frac{(4m-n)(4m+n)}{5n-1}$

Сократим общие множители $(4m+n)$ и $(5n-1)$ в числителях и знаменателях дробей (при условии, что они не равны нулю, что выполняется для заданных значений $m$ и $n$):

$\frac{m\cancel{(5n-1)}}{\cancel{4m+n}} \cdot \frac{(4m-n)\cancel{(4m+n)}}{\cancel{5n-1}} = m(4m-n)$

Теперь подставим заданные значения $m=\frac{1}{4}$ и $n=-3$ в упрощенное выражение:

$m(4m-n) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot \frac{1}{4} - (-3)) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1

б)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и числителе второй дроби:
$3x+9 = 3(x+3)$
$2x+6 = 2(x+3)$

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное:

$\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2-4} = \frac{(x+2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

Сократим общие множители $(x+3)$ и $(x+2)$ в числителях и знаменателях дробей (при условии, что они не равны нулю, что выполняется для заданных значений $x$):

$\frac{(x+2)\cancel{(x+2)}}{3\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{2\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)}$

Теперь найдем значение выражения для каждого из заданных значений $x$.

1. Если $x = 0,5$:

$\frac{2(0,5+2)}{3(0,5-2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9}$.

2. Если $x = -1,5$:

$\frac{2(-1,5+2)}{3(-1,5-2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}$.

Ответ: при $x=0,5$ значение выражения равно $-\frac{10}{9}$; при $x=-1,5$ значение выражения равно $-\frac{2}{21}$.