Номер 128, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 128, страница 34.

128. Представьте в виде дроби:

a) mx² - my²2m + 8 ∙ 3m + 12my + mx;

б) ax + ayx² - 2xy + y² ∙ x² - xy7x + 7y;

в) x³ - y³x + y ∙ x² - y²x² + xy + y²;

г) a² - 1a³ + 1 ∙ a² - a + 1a² + 2a + 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{m{x}^2-m{y}^2}{2m+8}·\frac{3m+12}{my+mx}= \\ =\frac{m(x^2-y^2)·3(m+4)}{2(m+4)·m(y+x)}= \\ =\frac{3(x-y)(x+y)}{2(x+y)}=\frac{3(x-y)}{2}=\frac{3x-3y}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{ax+ay}{x^2-2xy+y^2}·\frac{x^2-xy}{7x+7y}= \\ =\frac{a(x+y)·x(x-y)}{{(x-y)}^2·7(x+y)}=\frac{ax}{7(x-y)}=\frac{ax}{7x-7y} \end{gathered}$$

в) $\frac{x^3-y^3}{x+y}·\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x+y)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}= \\ ={(x-y)}^2=x^2-2xy+y^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a^2-1}{a^3+1}·\frac{a^2-a+1}{a^2+2a+1}= \\ =\frac{(a-1)(a+1)(a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1){(a+1)}^2}= \\ =\frac{a-1}{{(a+1)}^2}=\frac{a-1}{a^2+2a+1} \end{gathered}$$

а) $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx}$

Чтобы умножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения выражения сначала разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Числитель первой дроби: $mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2)$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получим $m(x-y)(x+y)$.

Знаменатель первой дроби: $2m + 8$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(m+4)$.

Числитель второй дроби: $3m + 12$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(m+4)$.

Знаменатель второй дроби: $my + mx$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(y+x)$ или $m(x+y)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в произведение и сократим общие множители:

$\frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} = \frac{m(x-y)(x+y) \cdot 3(m+4)}{2(m+4) \cdot m(x+y)}$

Сокращаем общие множители $m$, $(x+y)$ и $(m+4)$:

$\frac{\cancel{m}(x-y)\cancel{(x+y)} \cdot 3\cancel{(m+4)}}{2\cancel{(m+4)} \cdot \cancel{m}\cancel{(x+y)}} = \frac{3(x-y)}{2}$

Ответ: $\frac{3(x-y)}{2}$

б) $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $ax + ay = a(x+y)$ (вынесение общего множителя).

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$ (вынесение общего множителя).

Знаменатель второй дроби: $7x + 7y = 7(x+y)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{x(x-y)}{7(x+y)} = \frac{a(x+y) \cdot x(x-y)}{(x-y)^2 \cdot 7(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$. Обратите внимание, что $(x-y)^2 = (x-y)(x-y)$:

$\frac{a\cancel{(x+y)} \cdot x\cancel{(x-y)}}{(x-y)^{\cancel{2}} \cdot 7\cancel{(x+y)}} = \frac{ax}{7(x-y)}$

Ответ: $\frac{ax}{7(x-y)}$

в) $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби $x^2 + xy + y^2$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2) \cdot (x-y)(x+y)}{(x + y) \cdot (x^2 + xy + y^2)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2 + xy + y^2)$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x^2 + xy + y^2)} \cdot (x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{(x + y)} \cdot \cancel{(x^2 + xy + y^2)}} = (x-y)(x-y) = (x-y)^2$

Ответ: $(x-y)^2$

г) $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$ (формула суммы кубов).

Числитель второй дроби $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.

Знаменатель второй дроби: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$ (формула квадрата суммы).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{(a+1)^2} = \frac{(a-1)(a+1)(a^2 - a + 1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)(a+1)^2}$

Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a^2 - a + 1)$:

$\frac{(a-1)\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}}{\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}(a+1)^2} = \frac{a-1}{(a+1)^2}$

Ответ: $\frac{a-1}{(a+1)^2}$