Номер 135, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 135, страница 36.

135. Упростите выражение:

a) 6x²5y : 3x10y³;

б) 8c21d² : 6c²7d;

в) 3ab4xy : - 21a²b10x²y;

г) - 18a²b²5cd : - 9ab³5c²d⁴.

a) $\frac{6x^2}{5y}:\frac{3x}{10y^3}=\frac{6x^2·10y^3}{5y·3x}=\frac{2x·2y^2}{1}=4x{y}^2$

б) $\frac{8c}{21d^2}:\frac{6c^2}{7d}=\frac{8c·7d}{21d^2·6c^2}=\frac{4}{3d·3c}=\frac{4}{9cd}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3ab}{4xy}:\left(-\frac{21a^{2}b}{10x^{2}y}\right)=-\frac{3ab·10x^{2}y}{4xy·21a^{2}b}= \\ =-\frac{5x}{2·7a}=-\frac{5x}{14a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{18a^2{b}^2}{5cd}:\left(-\frac{9a{b}^3}{5c^2{d}^4}\right)=\frac{18a^2{b}^2·5c^2{d}^4}{5cd·9a{b}^3}= \\ =\frac{2a·c{d}^3}{b}=\frac{2ac{d}^3}{b} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{6x^2}{5y} : \frac{3x}{10y^3} = \frac{6x^2}{5y} \cdot \frac{10y^3}{3x} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{6x^2 \cdot 10y^3}{5y \cdot 3x} = \frac{60x^2y^3}{15xy} $

Сократим дробь. Коэффициенты $ \frac{60}{15} = 4 $. Переменные сокращаем по правилу степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $

$ \frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2 $

Собираем все вместе:

$ 4xy^2 $

Ответ: $ 4xy^2 $

б) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{6c^2}{7d} = \frac{8c \cdot 6c^2}{21d^2 \cdot 7d} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные и выполним умножение:

$ \frac{(8 \cdot 6) \cdot (c \cdot c^2)}{(21 \cdot 7) \cdot (d^2 \cdot d)} = \frac{48c^3}{147d^3} $

Сократим числовой коэффициент $ \frac{48}{147} $, найдя общий делитель 3:

$ \frac{48 \div 3}{147 \div 3} = \frac{16}{49} $

Таким образом, итоговое выражение:

$ \frac{16c^3}{49d^3} $

Ответ: $ \frac{16c^3}{49d^3} $

в) Деление на отрицательную дробь эквивалентно умножению на обратную ей отрицательную дробь. Результат будет отрицательным.

$ \frac{3ab}{4xy} : \left(-\frac{21a^2b}{10x^2y}\right) = -\left(\frac{3ab}{4xy} \cdot \frac{10x^2y}{21a^2b}\right) $

Перемножим числители и знаменатели, вынеся знак минуса за скобки:

$ -\frac{3ab \cdot 10x^2y}{4xy \cdot 21a^2b} = -\frac{30a b x^2 y}{84a^2 b x y} $

Сократим коэффициенты: $ \frac{30}{84} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{5}{14} $.

Сократим переменные:

$ \frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} $

$ \frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1 $

$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $

$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $

Собираем упрощенное выражение:

$ -\frac{5x}{14a} $

Ответ: $ -\frac{5x}{14a} $

г) Деление отрицательной дроби на отрицательную дает положительный результат. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

$ -\frac{18a^2b^2}{5cd} : \left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right) = \frac{18a^2b^2}{5cd} \cdot \frac{5c^2d^4}{9ab^3} $

Перемножим дроби:

$ \frac{18a^2b^2 \cdot 5c^2d^4}{5cd \cdot 9ab^3} = \frac{90a^2b^2c^2d^4}{45ab^3cd} $

Сократим коэффициенты: $ \frac{90}{45} = 2 $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a $

$ \frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1} = \frac{1}{b} $

$ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c $

$ \frac{d^4}{d} = d^{4-1} = d^3 $

Собираем итоговое выражение:

$ \frac{2acd^3}{b} $

Ответ: $ \frac{2acd^3}{b} $