Номер 139, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 139, страница 36.

139. Представьте выражение в виде дроби и сократите её:

а) (x + 3y) : (x² – 9y²);

б) (a² – 6ab + 9b²) : (a² – 9b²);

в) (x² – 49y²) : (49y² + 14xy + x²);

г) (m – 4n)² : (32n² – 2m²).

a) $(x+3y):(x^2-9y^2)=\frac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)}=\frac{1}{x-3y}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(a^2-6ab+9b^2):(a^2-9b^2)= \\ =\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2}=\frac{{(a-3b)}^2}{(a-3b)(a+3b)}=\frac{a-3b}{a+3b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(x^2-49y^2):(49y^2+14xy+x^2)= \\ =\frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2}=\frac{(x-7y)(x+7y)}{{(7y+x)}^2}=\frac{x-7y}{x+7y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathbf{\text{г) }}(m-4n)}^2:(32n^2-2m^2)= \\ =\frac{{(m-4n)}^2}{32n^2-2m^2}=\frac{{(m-4n)}^2}{2(16n^2-m^2)}= \\ =\frac{{(m-4n)}^2}{2(4n-m)(4n+m)}=\frac{{(4n-m)}^2}{2(4n-m)(4n+m)}= \\ =\frac{4n-m}{2(4n+m)}=\frac{4n-m}{8n+2m} \end{gathered}$$

а)

Представим деление в виде дроби: $$(x + 3y) : (x^2 - 9y^2) = \frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$$

Знаменатель дроби является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить его на множители: $$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$$

Подставим разложенный знаменатель в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(x + 3y)$: $$\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{\cancel{x + 3y}}{(x - 3y)\cancel{(x + 3y)}} = \frac{1}{x - 3y}$$

Ответ: $ \frac{1}{x - 3y} $

б)

Представим деление в виде дроби: $$(a^2 - 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2) = \frac{a^2 - 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$$

Числитель дроби $a^2 - 6ab + 9b^2$ — это полный квадрат разности. Разложим его по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$$ Знаменатель $a^2 - 9b^2$ — это разность квадратов. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a - 3b)$: $$\frac{(a - 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} = \frac{(a - 3b)\cancel{(a - 3b)}}{\cancel{(a - 3b)}(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{a + 3b}$$

Ответ: $ \frac{a - 3b}{a + 3b} $

в)

Представим деление в виде дроби: $$(x^2 - 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2) = \frac{x^2 - 49y^2}{49y^2 + 14xy + x^2}$$

Числитель дроби $x^2 - 49y^2$ — это разность квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$x^2 - 49y^2 = x^2 - (7y)^2 = (x - 7y)(x + 7y)$$ В знаменателе поменяем слагаемые местами, чтобы увидеть полный квадрат суммы $x^2 + 14xy + 49y^2$. Разложим его по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$x^2 + 14xy + 49y^2 = (x + 7y)^2$$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(x + 7y)$: $$\frac{(x - 7y)(x + 7y)}{(x + 7y)^2} = \frac{(x - 7y)\cancel{(x + 7y)}}{(x + 7y)\cancel{(x + 7y)}} = \frac{x - 7y}{x + 7y}$$

Ответ: $ \frac{x - 7y}{x + 7y} $

г)

Представим деление в виде дроби: $$(m - 4n)^2 : (32n^2 - 2m^2) = \frac{(m - 4n)^2}{32n^2 - 2m^2}$$

Разложим знаменатель на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2: $$32n^2 - 2m^2 = 2(16n^2 - m^2)$$ Теперь выражение в скобках $16n^2 - m^2$ разложим как разность квадратов: $$2(16n^2 - m^2) = 2((4n)^2 - m^2) = 2(4n - m)(4n + m)$$

Подставим разложенный знаменатель в дробь. Для удобства сокращения представим числитель $(m - 4n)^2$ в виде $(4n - m)^2$, так как $(m - 4n)^2 = (-(4n - m))^2 = (4n - m)^2$. $$\frac{(m - 4n)^2}{2(4n - m)(4n + m)} = \frac{(4n - m)^2}{2(4n - m)(4n + m)}$$

Сократим дробь на общий множитель $(4n - m)$: $$\frac{(4n - m)\cancel{(4n - m)}}{2\cancel{(4n - m)}(4n + m)} = \frac{4n - m}{2(4n + m)}$$

Ответ: $ \frac{4n - m}{2(4n + m)} $