Номер 142, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 142, страница 37.

142. Найдите значение выражения:

a) $\frac{4x^2-4x}{x+3}:(2x-2)=\frac{4x(x-1)}{(x+3)·2(x-1)}=\frac{2x}{x+3}$

если

x=2,5; $\frac{2·2,5}{2,5+3}=\frac{5}{5,5}=\frac{50}{55}=\frac{10}{11}$

x=-1; $\frac{2·(-1)}{-1+3}=\frac{-2}{2}=-1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(3a+6b):\frac{2a^2-8b^2}{a+b}=\frac{3(a+2b)·(a+b)}{2(a^2-4b^2)}= \\ =\frac{3(a+2b)(a+b)}{2(a-2b)(a+2b)}=\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}=\frac{3a+3b}{2a-4b} \end{gathered}$$

если a=26, b=-12

$\frac{3·26+3·(-12)}{2·26-4·(-12)}=\frac{78-36}{52+48}=\frac{42}{100}=0,42$

а)

Для начала упростим исходное выражение $\frac{4x^2-4x}{x+3} : (2x - 2)$. Деление на многочлен $(2x - 2)$ можно заменить умножением на обратную ему дробь $\frac{1}{2x - 2}$.

$\frac{4x^2-4x}{x+3} : (2x - 2) = \frac{4x^2-4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x-2} = \frac{4x^2-4x}{(x+3)(2x-2)}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби. В числителе вынесем за скобки общий множитель $4x$:
$4x^2-4x = 4x(x-1)$

В знаменателе из выражения $(2x-2)$ вынесем за скобки общий множитель 2:
$(x+3)(2x-2) = (x+3) \cdot 2(x-1)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь: $\frac{4x(x-1)}{2(x+3)(x-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(x-1)$, при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. $\frac{2 \cdot 2x(x-1)}{2(x+3)(x-1)} = \frac{2x}{x+3}$

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значения при заданных $x$.

1. При $x = 2,5$:
$\frac{2 \cdot 2,5}{2,5+3} = \frac{5}{5,5} = \frac{50}{55} = \frac{10}{11}$

2. При $x = -1$:
$\frac{2 \cdot (-1)}{-1+3} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: при $x=2,5$ значение выражения равно $\frac{10}{11}$; при $x=-1$ значение выражения равно $-1$.

б)

Упростим выражение $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$(3a + 6b) \cdot \frac{a+b}{2a^2 - 8b^2}$

Разложим на множители многочлены в выражении. В выражении $(3a+6b)$ вынесем за скобки общий множитель 3:
$3a+6b = 3(a+2b)$

В знаменателе дроби $2a^2-8b^2$ вынесем за скобки 2 и применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$2a^2-8b^2 = 2(a^2-4b^2) = 2(a^2-(2b)^2) = 2(a-2b)(a+2b)$

Запишем выражение с разложенными на множители частями: $\frac{3(a+2b)}{1} \cdot \frac{a+b}{2(a-2b)(a+2b)} = \frac{3(a+2b)(a+b)}{2(a-2b)(a+2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2b)$, при условии, что $a+2b \neq 0$. $\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}$

Подставим заданные значения $a=26$ и $b=-12$ в упрощенное выражение и вычислим результат. $\frac{3(26 + (-12))}{2(26 - 2(-12))} = \frac{3(26-12)}{2(26+24)} = \frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42$

Ответ: $0,42$.