Номер 138, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 138, страница 36.

138. Упростите выражение:

a) 11m⁴6n² ∙ 5m6n³ : 11n³12m³;

б) 8x³7y³ : 4x⁴49y² : 7xy².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{11m^4}{6n^2}·\frac{5m}{6n^3}:\frac{11n^3}{12m^3}=\frac{11m^4·5m·12m^3}{6n^2·6n^3·11n^3}= \\ =\frac{5·12m^8}{6·6n^8}=\frac{5·2m^8}{6n^8}=\frac{5m^8}{3n^8} \end{gathered}$$

б) $\frac{8x^3}{7y^3}:\frac{4x^4}{49y^2}:\frac{7x}{y^2}=\frac{8x^3·49y^2·y^2}{7y^3·4x^4·7x}=\frac{2x^3{y}^4}{y^3{x}^5}=\frac{2y}{x^2}$

а)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить умножение и деление дробей. Операцию деления на дробь заменим умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} : \frac{11n^3}{12m^3} = \frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} \cdot \frac{12m^3}{11n^3}$

Теперь объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{11 \cdot 5 \cdot 12 \cdot m^4 \cdot m \cdot m^3}{6 \cdot 6 \cdot 11 \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot n^3}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные отдельно и проведем сокращение. Для переменных используем свойство степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$:

$\frac{11 \cdot 5 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 11} \cdot \frac{m^{4+1+3}}{n^{2+3+3}} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 12}{36 \cdot 11} \cdot \frac{m^8}{n^8}$

Сократим числовую часть. Сокращаем 11 в числителе и знаменателе. Затем сокращаем дробь $\frac{12}{36}$ на 12, получая $\frac{1}{3}$:

$\frac{5 \cdot 12}{36} \cdot \frac{m^8}{n^8} = \frac{5 \cdot 1}{3} \cdot \frac{m^8}{n^8} = \frac{5m^8}{3n^8}$

Ответ: $\frac{5m^8}{3n^8}$

б)

В этом выражении есть деление и умножение. Выполним действия по порядку. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{8x^3}{7y^3} : \frac{4x^4}{49y^2} \cdot \frac{7x}{y^2} = \frac{8x^3}{7y^3} \cdot \frac{49y^2}{4x^4} \cdot \frac{7x}{y^2}$

Теперь, когда все операции — умножение, объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{8 \cdot 49 \cdot 7 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot x}{7 \cdot 4 \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и упростим выражение, используя свойства степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$\frac{8 \cdot 49 \cdot 7}{7 \cdot 4} \cdot \frac{x^3 \cdot x}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^3 \cdot y^2} = \frac{8 \cdot 49}{4} \cdot \frac{x^{3+1}}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^{3+2}} = (2 \cdot 49) \cdot \frac{x^4}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^5}$

Выполняем финальные вычисления и сокращения:

$98 \cdot 1 \cdot y^{2-5} = 98 \cdot y^{-3} = \frac{98}{y^3}$

Ответ: $\frac{98}{y^3}$