Страница 36 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

134. Выполните деление:

a) 5m6n : 15m²8;

б) 149x³ : 7x2y²;

в) a²12b : ab36;

г) 3x10a³ : 15a²;

д) 11x4y² : (22x²)

е) 27a³ :18a⁴7b²;

ж) 18c⁴7d : (9c²d);

з) 35x⁵y :7x³34.

a) $\frac{5m}{6n}:\frac{15m^2}{8}=\frac{5m·8}{6n·15m^2}=\frac{4}{3n·3m}=\frac{4}{9mn}$

б) $\frac{14}{9x^3}:\frac{7x}{2y^2}=\frac{14·2y^2}{9x^3·7x}=\frac{2·2y^2}{9x^4}=\frac{4y^2}{9x^4}$

в) $\frac{a^2}{12b}:\frac{1}{5a^2}=\frac{3x·5a^2}{10a^3}=\frac{15a^{2}x}{10a^3}=\frac{3x}{2a}$

г) $\frac{3x}{10a^3}:\frac{1}{5a^2}=\frac{3x·5a^2}{10a^3}=\frac{15a^{2}x}{10a^3}=\frac{3x}{2a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{11x}{4y^2}:\left(22x^2\right)=\frac{11x}{4y^2}·\frac{1}{22x^2}= \\ =\frac{11x}{4·22x^2{y}^2}=\frac{1}{4·2x{y}^2}=\frac{1}{8x{y}^2} \end{gathered}$$

е) $27a^3:\frac{18a^4}{7b^2}=27a^3·\frac{7b^2}{18a^4}=\frac{3·7b^2}{2a}=\frac{21b^2}{2a}$

ж) $\frac{18c^4}{7d}:\left(9c^{2}d\right)=\frac{18c^4}{7d}·\frac{1}{9c^{2}d}=\frac{18c^4}{7·9c^2{d}^2}=\frac{2c^2}{7d^2}$

з) $35x^{5}y:\frac{7x^3}{34}=\frac{35x^{5}y·34}{7x^3}=5x^{2}y·34=170x^{2}y$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. $ \frac{5m}{6n} : \frac{15m^2}{8} = \frac{5m}{6n} \cdot \frac{8}{15m^2} $. Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем 5 и 15 на 5; 6 и 8 на 2; $m$ и $m^2$ на $m$: $ \frac{5m \cdot 8}{6n \cdot 15m^2} = \frac{\cancel{5}\cancel{m} \cdot \cancel{8}^4}{\cancel{6}^3 n \cdot \cancel{15}^3 m^{\cancel{2}}} = \frac{4}{3n \cdot 3m} = \frac{4}{9mn} $.
Ответ: $ \frac{4}{9mn} $.

б) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую: $ \frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2} = \frac{14}{9x^3} \cdot \frac{2y^2}{7x} $. Сокращаем 14 и 7 на 7. Перемножаем оставшиеся числители и знаменатели. $ \frac{14 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot 7x} = \frac{\cancel{14}^2 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot \cancel{7}^1 x} = \frac{4y^2}{9x^{3+1}} = \frac{4y^2}{9x^4} $.
Ответ: $ \frac{4y^2}{9x^4} $.

в) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую: $ \frac{a^2}{12b} : \frac{ab}{36} = \frac{a^2}{12b} \cdot \frac{36}{ab} $. Сокращаем 36 и 12 на 12; $a^2$ и $a$ на $a$. $ \frac{a^2 \cdot 36}{12b \cdot ab} = \frac{\cancel{a^2}^a \cdot \cancel{36}^3}{\cancel{12}^1 b \cdot \cancel{a}b} = \frac{3a}{b \cdot b} = \frac{3a}{b^2} $.
Ответ: $ \frac{3a}{b^2} $.

г) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую: $ \frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2} = \frac{3x}{10a^3} \cdot \frac{5a^2}{1} $. Сокращаем 10 и 5 на 5; $a^3$ и $a^2$ на $a^2$. $ \frac{3x \cdot 5a^2}{10a^3} = \frac{3x \cdot \cancel{5}^1 \cancel{a^2}^1}{\cancel{10}^2 \cancel{a^3}^a} = \frac{3x}{2a} $.
Ответ: $ \frac{3x}{2a} $.

д) Представим выражение $22x^2$ в виде дроби $ \frac{22x^2}{1} $. Затем заменим деление умножением на обратную дробь. $ \frac{11x}{4y^2} : (22x^2) = \frac{11x}{4y^2} : \frac{22x^2}{1} = \frac{11x}{4y^2} \cdot \frac{1}{22x^2} $. Сокращаем 11 и 22 на 11; $x$ и $x^2$ на $x$. $ \frac{11x \cdot 1}{4y^2 \cdot 22x^2} = \frac{\cancel{11}^1 \cancel{x}^1}{4y^2 \cdot \cancel{22}^2 \cancel{x^2}^x} = \frac{1}{4y^2 \cdot 2x} = \frac{1}{8xy^2} $.
Ответ: $ \frac{1}{8xy^2} $.

е) Представим выражение $27a^3$ в виде дроби $ \frac{27a^3}{1} $ и заменим деление умножением на обратную дробь. $ 27a^3 : \frac{18a^4}{7b^2} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{7b^2}{18a^4} $. Сокращаем 27 и 18 на 9; $a^3$ и $a^4$ на $a^3$. $ \frac{27a^3 \cdot 7b^2}{18a^4} = \frac{\cancel{27}^3 \cancel{a^3}^1 \cdot 7b^2}{\cancel{18}^2 \cancel{a^4}^a} = \frac{3 \cdot 7b^2}{2a} = \frac{21b^2}{2a} $.
Ответ: $ \frac{21b^2}{2a} $.

ж) Представим выражение $9c^2d$ в виде дроби $ \frac{9c^2d}{1} $ и выполним деление. $ \frac{18c^4}{7d} : (9c^2d) = \frac{18c^4}{7d} : \frac{9c^2d}{1} = \frac{18c^4}{7d} \cdot \frac{1}{9c^2d} $. Сокращаем 18 и 9 на 9; $c^4$ и $c^2$ на $c^2$. $ \frac{18c^4}{7d \cdot 9c^2d} = \frac{\cancel{18}^2 \cancel{c^4}^{c^2}}{7d \cdot \cancel{9}^1 \cancel{c^2}^1 d} = \frac{2c^2}{7d \cdot d} = \frac{2c^2}{7d^2} $.
Ответ: $ \frac{2c^2}{7d^2} $.

з) Представим выражение $35x^5y$ в виде дроби $ \frac{35x^5y}{1} $ и выполним деление. $ 35x^5y : \frac{7x^3}{34} = \frac{35x^5y}{1} \cdot \frac{34}{7x^3} $. Сокращаем 35 и 7 на 7; $x^5$ и $x^3$ на $x^3$. $ \frac{35x^5y \cdot 34}{7x^3} = \frac{\cancel{35}^5 \cancel{x^5}^{x^2} y \cdot 34}{\cancel{7}^1 \cancel{x^3}^1} = 5x^2y \cdot 34 = 170x^2y $.
Ответ: $ 170x^2y $.

135. Упростите выражение:

a) 6x²5y : 3x10y³;

б) 8c21d² : 6c²7d;

в) 3ab4xy : - 21a²b10x²y;

г) - 18a²b²5cd : - 9ab³5c²d⁴.

a) $\frac{6x^2}{5y}:\frac{3x}{10y^3}=\frac{6x^2·10y^3}{5y·3x}=\frac{2x·2y^2}{1}=4x{y}^2$

б) $\frac{8c}{21d^2}:\frac{6c^2}{7d}=\frac{8c·7d}{21d^2·6c^2}=\frac{4}{3d·3c}=\frac{4}{9cd}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3ab}{4xy}:\left(-\frac{21a^{2}b}{10x^{2}y}\right)=-\frac{3ab·10x^{2}y}{4xy·21a^{2}b}= \\ =-\frac{5x}{2·7a}=-\frac{5x}{14a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{18a^2{b}^2}{5cd}:\left(-\frac{9a{b}^3}{5c^2{d}^4}\right)=\frac{18a^2{b}^2·5c^2{d}^4}{5cd·9a{b}^3}= \\ =\frac{2a·c{d}^3}{b}=\frac{2ac{d}^3}{b} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{6x^2}{5y} : \frac{3x}{10y^3} = \frac{6x^2}{5y} \cdot \frac{10y^3}{3x} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{6x^2 \cdot 10y^3}{5y \cdot 3x} = \frac{60x^2y^3}{15xy} $

Сократим дробь. Коэффициенты $ \frac{60}{15} = 4 $. Переменные сокращаем по правилу степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $

$ \frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2 $

Собираем все вместе:

$ 4xy^2 $

Ответ: $ 4xy^2 $

б) Чтобы умножить две алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{6c^2}{7d} = \frac{8c \cdot 6c^2}{21d^2 \cdot 7d} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные и выполним умножение:

$ \frac{(8 \cdot 6) \cdot (c \cdot c^2)}{(21 \cdot 7) \cdot (d^2 \cdot d)} = \frac{48c^3}{147d^3} $

Сократим числовой коэффициент $ \frac{48}{147} $, найдя общий делитель 3:

$ \frac{48 \div 3}{147 \div 3} = \frac{16}{49} $

Таким образом, итоговое выражение:

$ \frac{16c^3}{49d^3} $

Ответ: $ \frac{16c^3}{49d^3} $

в) Деление на отрицательную дробь эквивалентно умножению на обратную ей отрицательную дробь. Результат будет отрицательным.

$ \frac{3ab}{4xy} : \left(-\frac{21a^2b}{10x^2y}\right) = -\left(\frac{3ab}{4xy} \cdot \frac{10x^2y}{21a^2b}\right) $

Перемножим числители и знаменатели, вынеся знак минуса за скобки:

$ -\frac{3ab \cdot 10x^2y}{4xy \cdot 21a^2b} = -\frac{30a b x^2 y}{84a^2 b x y} $

Сократим коэффициенты: $ \frac{30}{84} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{5}{14} $.

Сократим переменные:

$ \frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} $

$ \frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1 $

$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $

$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $

Собираем упрощенное выражение:

$ -\frac{5x}{14a} $

Ответ: $ -\frac{5x}{14a} $

г) Деление отрицательной дроби на отрицательную дает положительный результат. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

$ -\frac{18a^2b^2}{5cd} : \left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right) = \frac{18a^2b^2}{5cd} \cdot \frac{5c^2d^4}{9ab^3} $

Перемножим дроби:

$ \frac{18a^2b^2 \cdot 5c^2d^4}{5cd \cdot 9ab^3} = \frac{90a^2b^2c^2d^4}{45ab^3cd} $

Сократим коэффициенты: $ \frac{90}{45} = 2 $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a $

$ \frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1} = \frac{1}{b} $

$ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c $

$ \frac{d^4}{d} = d^{4-1} = d^3 $

Собираем итоговое выражение:

$ \frac{2acd^3}{b} $

Ответ: $ \frac{2acd^3}{b} $

136. Выполните деление:

a) 6x²m³n : x3mn²;

б) 35x²y12ab : 7xy8ab²;

в) 8mx²3y³ : (4m²x);

г) 15a²bx :a³b²30x².

a) $\frac{6x^2}{m^{3}n}:\frac{x}{3m{n}^2}=\frac{6c^2·3m{n}^2}{m^{3}n·x}=\frac{18nx}{m^2}$

б) $\frac{35x^{2}y}{12ab}:\frac{7xy}{8a{b}^2}=\frac{35x^{2}y·8a{b}^2}{12ab·7xy}=\frac{5x·2b}{3}=\frac{10bx}{3}$

в) $\frac{8m{x}^2}{3y^3}:\left(4m^{2}x\right)=\frac{8m{x}^2}{3y^3·4m^{2}x}=\frac{2x}{3y^{3}m}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}15a^{2}bx:\frac{a^3{b}^2}{30x^2}=15a^{2}bx·\frac{30x^2}{a^3{b}^2}= \\ =\frac{450a^{2}b{x}^3}{a^3{b}^2}=\frac{450x^3}{ab} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{6x^2}{m^3n} : \frac{x}{3mn^2} = \frac{6x^2}{m^3n} \cdot \frac{3mn^2}{x}$
Теперь выполним умножение числителей и знаменателей, а затем сократим общие множители:
$\frac{6x^2 \cdot 3mn^2}{m^3n \cdot x} = \frac{18x^2mn^2}{m^3nx}$
Сокращаем степени переменных: $\frac{x^2}{x} = x$, $\frac{m}{m^3} = \frac{1}{m^2}$, $\frac{n^2}{n} = n$.
$\frac{18x^{2-1}n^{2-1}}{m^{3-1}} = \frac{18xn}{m^2}$
Ответ: $\frac{18xn}{m^2}$

б) Заменяем деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{35x^2y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2} = \frac{35x^2y}{12ab} \cdot \frac{8ab^2}{7xy}$
Объединяем в одну дробь и проводим сокращение.
$\frac{35x^2y \cdot 8ab^2}{12ab \cdot 7xy} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot x^2y \cdot (2 \cdot 4)ab^2}{(3 \cdot 4)ab \cdot 7xy}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x^2}{x}=x$, $\frac{y}{y}=1$, $\frac{a}{a}=1$, $\frac{b^2}{b}=b$.
В результате получаем:
$\frac{10xb}{3}$
Ответ: $\frac{10bx}{3}$

в) Сначала представим делитель $4m^2x$ в виде дроби $\frac{4m^2x}{1}$.
$\frac{8mx^2}{3y^3} : (4m^2x) = \frac{8mx^2}{3y^3} : \frac{4m^2x}{1}$
Теперь, как и в предыдущих примерах, заменяем деление умножением на обратную дробь.
$\frac{8mx^2}{3y^3} \cdot \frac{1}{4m^2x} = \frac{8mx^2}{3y^3 \cdot 4m^2x} = \frac{8mx^2}{12m^2xy^3}$
Сокращаем коэффициенты и переменные:
$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$, $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m}$, $\frac{x^2}{x} = x$.
$\frac{2x}{3my^3}$
Ответ: $\frac{2x}{3my^3}$

г) Представим делимое $15a^2bx$ в виде дроби $\frac{15a^2bx}{1}$.
$15a^2bx : \frac{a^3b^2}{30x^2} = \frac{15a^2bx}{1} : \frac{a^3b^2}{30x^2}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{15a^2bx}{1} \cdot \frac{30x^2}{a^3b^2} = \frac{15a^2bx \cdot 30x^2}{a^3b^2}$
Перемножаем и сокращаем полученное выражение.
$\frac{(15 \cdot 30)a^2b(x \cdot x^2)}{a^3b^2} = \frac{450a^2bx^3}{a^3b^2}$
Сокращаем степени переменных: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$, $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}$.
$\frac{450x^3}{ab}$
Ответ: $\frac{450x^3}{ab}$

137. Представьте в виде дроби:

a) 3x²5y³ : 9x³2y² ∙ 5y3x;

б) 7p⁴10q³ ∙ 5q14p² : 3p4q⁴

a) $\frac{3x^2}{5y^3}:\frac{9x^3}{2y^2}·\frac{5y}{3x}=\frac{3x^2·2y^2·5y}{5y^3·9x^3·3x}=\frac{x·2}{9x^3}=\frac{2}{9x^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{7p^4}{10q^3}·\frac{5q}{14p^2}:\frac{3p}{4q^4}=\frac{7p^4·5q·4q^4}{10q^3·14p^2·3p}= \\ =\frac{7·5·4p^4{q}^5}{10·14·3p^3{q}^3}=\frac{4p{q}^2}{2·2·3}=\frac{4p{q}^2}{12}=\frac{p{q}^2}{3} \end{gathered}$$

а) $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3x} $

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия с дробями по порядку. Сначала выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь, а затем умножение.

1. Заменяем деление на умножение:

$ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} = \frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3} $

2. Теперь все выражение представляет собой произведение трех дробей:

$ (\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3}) \cdot \frac{5y}{3x} = \frac{3x^2 \cdot 2y^2 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 9x^3 \cdot 3x} $

3. Умножим коэффициенты и сложим степени переменных в числителе и знаменателе:

$ \frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot y^{2+1}}{(5 \cdot 9 \cdot 3) \cdot x^{3+1} \cdot y^3} = \frac{30x^2y^3}{135x^4y^3} $

4. Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты $ \frac{30}{135} $ сокращаются на 15, что дает $ \frac{2}{9} $. Переменные $y$ ($ \frac{y^3}{y^3} $) сокращаются полностью. Для переменных $x$ имеем $ \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^{4-2}} = \frac{1}{x^2} $.

5. Собираем все части вместе:

$ \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{2}{9x^2} $

Ответ: $ \frac{2}{9x^2} $

б) $ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} $

Выполним действия по порядку. Сначала умножение, затем деление. Деление заменим умножением на обратную дробь.

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} \cdot \frac{4q^4}{3p} $

2. Перемножим все числители и все знаменатели:

$ \frac{7p^4 \cdot 5q \cdot 4q^4}{10q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p} = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 4) \cdot p^4 \cdot q^{1+4}}{(10 \cdot 14 \cdot 3) \cdot p^{2+1} \cdot q^3} = \frac{140 p^4 q^5}{420 p^3 q^3} $

3. Теперь сократим полученную дробь. Коэффициенты $ \frac{140}{420} $ сокращаются до $ \frac{1}{3} $. Для переменных $p$ имеем $ \frac{p^4}{p^3} = p^{4-3} = p $. Для переменных $q$ имеем $ \frac{q^5}{q^3} = q^{5-3} = q^2 $.

4. Объединим полученные результаты:

$ \frac{1 \cdot p \cdot q^2}{3} = \frac{pq^2}{3} $

Ответ: $ \frac{pq^2}{3} $

138. Упростите выражение:

a) 11m⁴6n² ∙ 5m6n³ : 11n³12m³;

б) 8x³7y³ : 4x⁴49y² : 7xy².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{11m^4}{6n^2}·\frac{5m}{6n^3}:\frac{11n^3}{12m^3}=\frac{11m^4·5m·12m^3}{6n^2·6n^3·11n^3}= \\ =\frac{5·12m^8}{6·6n^8}=\frac{5·2m^8}{6n^8}=\frac{5m^8}{3n^8} \end{gathered}$$

б) $\frac{8x^3}{7y^3}:\frac{4x^4}{49y^2}:\frac{7x}{y^2}=\frac{8x^3·49y^2·y^2}{7y^3·4x^4·7x}=\frac{2x^3{y}^4}{y^3{x}^5}=\frac{2y}{x^2}$

а)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить умножение и деление дробей. Операцию деления на дробь заменим умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} : \frac{11n^3}{12m^3} = \frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} \cdot \frac{12m^3}{11n^3}$

Теперь объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{11 \cdot 5 \cdot 12 \cdot m^4 \cdot m \cdot m^3}{6 \cdot 6 \cdot 11 \cdot n^2 \cdot n^3 \cdot n^3}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные отдельно и проведем сокращение. Для переменных используем свойство степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$:

$\frac{11 \cdot 5 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 11} \cdot \frac{m^{4+1+3}}{n^{2+3+3}} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 12}{36 \cdot 11} \cdot \frac{m^8}{n^8}$

Сократим числовую часть. Сокращаем 11 в числителе и знаменателе. Затем сокращаем дробь $\frac{12}{36}$ на 12, получая $\frac{1}{3}$:

$\frac{5 \cdot 12}{36} \cdot \frac{m^8}{n^8} = \frac{5 \cdot 1}{3} \cdot \frac{m^8}{n^8} = \frac{5m^8}{3n^8}$

Ответ: $\frac{5m^8}{3n^8}$

б)

В этом выражении есть деление и умножение. Выполним действия по порядку. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{8x^3}{7y^3} : \frac{4x^4}{49y^2} \cdot \frac{7x}{y^2} = \frac{8x^3}{7y^3} \cdot \frac{49y^2}{4x^4} \cdot \frac{7x}{y^2}$

Теперь, когда все операции — умножение, объединим все дроби в одну, перемножив их числители и знаменатели:

$\frac{8 \cdot 49 \cdot 7 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot x}{7 \cdot 4 \cdot y^3 \cdot x^4 \cdot y^2}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и упростим выражение, используя свойства степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ и $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$\frac{8 \cdot 49 \cdot 7}{7 \cdot 4} \cdot \frac{x^3 \cdot x}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^3 \cdot y^2} = \frac{8 \cdot 49}{4} \cdot \frac{x^{3+1}}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^{3+2}} = (2 \cdot 49) \cdot \frac{x^4}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^5}$

Выполняем финальные вычисления и сокращения:

$98 \cdot 1 \cdot y^{2-5} = 98 \cdot y^{-3} = \frac{98}{y^3}$

Ответ: $\frac{98}{y^3}$

139. Представьте выражение в виде дроби и сократите её:

а) (x + 3y) : (x² – 9y²);

б) (a² – 6ab + 9b²) : (a² – 9b²);

в) (x² – 49y²) : (49y² + 14xy + x²);

г) (m – 4n)² : (32n² – 2m²).

a) $(x+3y):(x^2-9y^2)=\frac{x+3y}{(x-3y)(x+3y)}=\frac{1}{x-3y}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(a^2-6ab+9b^2):(a^2-9b^2)= \\ =\frac{a^2-6ab+9b^2}{a^2-9b^2}=\frac{{(a-3b)}^2}{(a-3b)(a+3b)}=\frac{a-3b}{a+3b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(x^2-49y^2):(49y^2+14xy+x^2)= \\ =\frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2}=\frac{(x-7y)(x+7y)}{{(7y+x)}^2}=\frac{x-7y}{x+7y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathbf{\text{г) }}(m-4n)}^2:(32n^2-2m^2)= \\ =\frac{{(m-4n)}^2}{32n^2-2m^2}=\frac{{(m-4n)}^2}{2(16n^2-m^2)}= \\ =\frac{{(m-4n)}^2}{2(4n-m)(4n+m)}=\frac{{(4n-m)}^2}{2(4n-m)(4n+m)}= \\ =\frac{4n-m}{2(4n+m)}=\frac{4n-m}{8n+2m} \end{gathered}$$

а)

Представим деление в виде дроби: $$(x + 3y) : (x^2 - 9y^2) = \frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$$

Знаменатель дроби является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить его на множители: $$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$$

Подставим разложенный знаменатель в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(x + 3y)$: $$\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{\cancel{x + 3y}}{(x - 3y)\cancel{(x + 3y)}} = \frac{1}{x - 3y}$$

Ответ: $ \frac{1}{x - 3y} $

б)

Представим деление в виде дроби: $$(a^2 - 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2) = \frac{a^2 - 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$$

Числитель дроби $a^2 - 6ab + 9b^2$ — это полный квадрат разности. Разложим его по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$$ Знаменатель $a^2 - 9b^2$ — это разность квадратов. Разложим его по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(a - 3b)$: $$\frac{(a - 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} = \frac{(a - 3b)\cancel{(a - 3b)}}{\cancel{(a - 3b)}(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{a + 3b}$$

Ответ: $ \frac{a - 3b}{a + 3b} $

в)

Представим деление в виде дроби: $$(x^2 - 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2) = \frac{x^2 - 49y^2}{49y^2 + 14xy + x^2}$$

Числитель дроби $x^2 - 49y^2$ — это разность квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$x^2 - 49y^2 = x^2 - (7y)^2 = (x - 7y)(x + 7y)$$ В знаменателе поменяем слагаемые местами, чтобы увидеть полный квадрат суммы $x^2 + 14xy + 49y^2$. Разложим его по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$x^2 + 14xy + 49y^2 = (x + 7y)^2$$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(x + 7y)$: $$\frac{(x - 7y)(x + 7y)}{(x + 7y)^2} = \frac{(x - 7y)\cancel{(x + 7y)}}{(x + 7y)\cancel{(x + 7y)}} = \frac{x - 7y}{x + 7y}$$

Ответ: $ \frac{x - 7y}{x + 7y} $

г)

Представим деление в виде дроби: $$(m - 4n)^2 : (32n^2 - 2m^2) = \frac{(m - 4n)^2}{32n^2 - 2m^2}$$

Разложим знаменатель на множители. Сначала вынесем за скобки общий множитель 2: $$32n^2 - 2m^2 = 2(16n^2 - m^2)$$ Теперь выражение в скобках $16n^2 - m^2$ разложим как разность квадратов: $$2(16n^2 - m^2) = 2((4n)^2 - m^2) = 2(4n - m)(4n + m)$$

Подставим разложенный знаменатель в дробь. Для удобства сокращения представим числитель $(m - 4n)^2$ в виде $(4n - m)^2$, так как $(m - 4n)^2 = (-(4n - m))^2 = (4n - m)^2$. $$\frac{(m - 4n)^2}{2(4n - m)(4n + m)} = \frac{(4n - m)^2}{2(4n - m)(4n + m)}$$

Сократим дробь на общий множитель $(4n - m)$: $$\frac{(4n - m)\cancel{(4n - m)}}{2\cancel{(4n - m)}(4n + m)} = \frac{4n - m}{2(4n + m)}$$

Ответ: $ \frac{4n - m}{2(4n + m)} $