Страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

103. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь x² + 7x - 25x - 5 в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:

1. x + 5 +7xx - 5

2. x + 12 +35x - 5

3. -x +2x - 25x - 5

4. x +12x - 25x - 5

Укажите неверный ответ.

$\frac{x^2+7x-25}{x-5}$

1. $x+5+\frac{7x}{x-5}=\frac{(x+5)(x-5)+7x}{x-5}=\frac{x^2-25+7x}{x-5}$ - верно
2. $x+12+\frac{35}{x-5}=\frac{(x+12)(x-5)+35}{x-5}=$
   $=\frac{x^2-5x+12x-60+35}{x-5}=\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ - верно
3. $-x+\frac{2x-25}{x-5}=\frac{-x(x-5)+2x-25}{x-5}=$
   $=\frac{-x^2+5x+2x-25}{x-5}=\frac{-x^2+7x-25}{x-5}$ - неверно
4. $x+\frac{12x-25}{x-5}=\frac{x(x-5)+12x-25}{x-5}=$
   $=\frac{x^2-5x+12x-25}{x-5}=\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ - верно

Ответ: 3

Задача состоит в том, чтобы представить дробь $\frac{x^2+7x-25}{x-5}$ в виде суммы целого выражения и дроби, и указать, какой из предложенных ответов является неверным. Для этого мы проверим тождественности каждого из предложенных выражений исходной дроби. Мы будем приводить каждое выражение к общему знаменателю и сравнивать результат.

1. $x+5+\frac{7x}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+5+\frac{7x}{x-5} = \frac{(x+5)(x-5)}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2 - 25}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Следовательно, это представление верно.

2. $x+12+\frac{35}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+12+\frac{35}{x-5} = \frac{(x+12)(x-5)}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2 - 5x + 12x - 60}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2+7x-60+35}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Этот результат также можно получить, выполнив деление многочлена $x^2+7x-25$ на $x-5$ столбиком (выделение целой части). Следовательно, это представление верно.

3. $-x+\frac{2x-25}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$-x+\frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x(x-5)}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+5x}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+5x+2x-25}{x-5} = \frac{-x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение $\frac{-x^2+7x-25}{x-5}$ не совпадает с исходной дробью $\frac{x^2+7x-25}{x-5}$, так как знаки при $x^2$ различны. Следовательно, это представление неверно.

4. $x+\frac{12x-25}{x-5}$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю $x-5$:
$x+\frac{12x-25}{x-5} = \frac{x(x-5)}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2-5x}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2-5x+12x-25}{x-5} = \frac{x^2+7x-25}{x-5}$.
Полученное выражение совпадает с исходной дробью. Следовательно, это представление верно.

В результате проверки было установлено, что только выражение под номером 3 не является тождественно равным исходной дроби.

Ответ: 3

104. Докажите тождество

a) 1x + n - 1x + n + 1 = 1(x + n)(x + n + 1).

Используя это тождество, упростите выражение

б) 1(x + 1)(x + 2) + 1(x + 2)(x + 3) + 1(x + 3)(x + 4).

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}= \\ =\frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}= \\ =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+ \\ +\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}= \\ =\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{(x+1)(x+4)} \end{gathered}$$

Докажите тождество
Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Приведём дроби к общему знаменателю $(x+n)(x+n+1)$:
$ \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1 \cdot (x+n+1)}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{1 \cdot (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} $
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем и упростим числитель, раскрыв скобки:
$ \frac{(x+n+1) - (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} $
Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

Используя это тождество, упростите выражение
Рассмотрим выражение $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} $.
Каждое слагаемое в этом выражении имеет вид, соответствующий правой части доказанного тождества $ \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} $.
Применим это тождество к каждому слагаемому суммы, представив его в виде разности двух дробей:
Для первого слагаемого (где $n=1$): $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $
Для второго слагаемого (где $n=2$): $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $
Для третьего слагаемого (где $n=3$): $ \frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} $
Теперь подставим полученные разности в исходное выражение:
$ \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right) $
Это телескопическая сумма. Раскроем скобки и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$ \frac{1}{x+1} - \cancel{\frac{1}{x+2}} + \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} $
Приведём оставшиеся дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+4)$ и выполним вычитание:
$ \frac{1 \cdot (x+4)}{(x+1)(x+4)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4 - (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)} $
Ответ: $ \frac{3}{(x+1)(x+4)} $.

105. Две речные пристани А и В расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t ч потребуется катеру на путь от А до В и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:

а) s = 50, v = 25;

б) s = 105, v = 40.

(v+5) км/ч - скорость по течению;

(v-5) км/ч - скорость против течения;

$$\begin{gathered} t=\frac{s}{v+5}+\frac{s}{v-5}=\frac{s(v-5)+s(v+5)}{(v+5)(v-5)}= \\ =\frac{sv-5s+sv+5s}{v^2-25}=\frac{2sv}{v^2-25} \end{gathered}$$

a) s=50, v=25

$$\begin{gathered} t=\frac{2·50·25}{25^2-25}=\frac{100·25}{25\left(25-1\right)}=\frac{100}{24}=\frac{25}{6}= \\ =4\frac{1}{6}=4\frac{10}{60}=4\text{ч} 10\text{мин} \end{gathered}$$

б) s=105, v=40

$$\begin{gathered} t=\frac{2·105·40}{{40}^2-25}=\frac{2·105·40}{40·40-25}=\frac{2·105·40}{8·5·8·5-25}= \\ =\frac{2·105·40}{25·(64-1)}=\frac{210·8}{5·63}=\frac{42·8}{63}=\frac{6·8}{9}= \\ =\frac{2·8}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}=5\frac{20}{60}=\text{5ч 20мин} \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо определить общее время $t$, которое катер затратит на путь из пункта А в пункт В и обратно. Обозначим расстояние между пристанями как $s$ км, собственную скорость катера (в стоячей воде) как $v$ км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_{теч} = 5$ км/ч.

Путь катера состоит из двух отрезков: по течению реки и против течения.

1. Движение по течению:
Когда катер плывет по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v + v_{теч} = v + 5$ (км/ч).
Время, затраченное на этот путь:
$t_{по} = \frac{s}{v_{по}} = \frac{s}{v + 5}$ (ч).

2. Движение против течения:
Когда катер плывет против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{пр} = v - v_{теч} = v - 5$ (км/ч).
Время, затраченное на обратный путь:
$t_{пр} = \frac{s}{v_{пр}} = \frac{s}{v - 5}$ (ч).

3. Общее время в пути:
Общее время $t$ — это сумма времени движения по течению и против течения:
$t = t_{по} + t_{пр} = \frac{s}{v + 5} + \frac{s}{v - 5}$.
Эта формула является общей для решения задачи. Теперь подставим в нее конкретные значения из каждого пункта.

а) $s = 50$, $v = 25$.
Подставляем значения в формулу:
$t = \frac{50}{25 + 5} + \frac{50}{25 - 5} = \frac{50}{30} + \frac{50}{20}$.
Сокращаем дроби:
$t = \frac{5}{3} + \frac{5}{2}$.
Приводим к общему знаменателю 6:
$t = \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6}$ (ч).
Это равно $4 \frac{1}{6}$ часа, или 4 часа 10 минут.
Ответ: $t = \frac{25}{6}$ ч.

б) $s = 105$, $v = 40$.
Подставляем значения в формулу:
$t = \frac{105}{40 + 5} + \frac{105}{40 - 5} = \frac{105}{45} + \frac{105}{35}$.
Выполняем деление:
$\frac{105}{45} = \frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{7}{3}$.
$\frac{105}{35} = 3$.
Складываем полученные значения:
$t = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}$ (ч).
Это равно $5 \frac{1}{3}$ часа, или 5 часов 20 минут.
Ответ: $t = \frac{16}{3}$ ч.

106. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t ч затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.

2s км - путь по просёлочной дороге (v-2)км/ч - скорость по просёлочной дороге

$$\begin{gathered} t=\frac{s}{v}+\frac{2s}{v-2}=\frac{s(v-2)+2sv}{v(v-2)}= \\ =\frac{sv-2s+2sv}{v(v-2)}=\frac{3sv-2s}{v(v-2)} \end{gathered}$$

при s=10, v=6

$$\begin{gathered} t=\frac{3·10·6-2·10}{6(6-2)}=\frac{180-20}{6·4}=\frac{160}{6·4}=\frac{40}{6}= \\ =6\frac{4}{6}=6\frac{40}{60}=\text{6ч 40мин} \end{gathered}$$

Для решения задачи определим время, затраченное на каждом из двух участков пути, а затем сложим их. Общее время в пути $t$ будет равно сумме времени движения по шоссе ($t_1$) и времени движения по просёлочной дороге ($t_2$).

1. Движение по шоссе.
Расстояние, пройденное туристами по шоссе, составляет $s$ км, а их скорость – $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, вычисляется по формуле: $t_1 = \frac{s}{v}$.

2. Движение по просёлочной дороге.
По условию, путь по просёлочной дороге был вдвое больше, то есть $2s$ км. Скорость на этом участке была на 2 км/ч меньше, чем по шоссе, то есть $v-2$ км/ч. Время, затраченное на движение по просёлочной дороге, вычисляется по формуле: $t_2 = \frac{2s}{v-2}$.

3. Общее время в пути.
Сложив время, затраченное на оба участка, получим общую формулу для вычисления всего времени $t$ в часах: $t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v} + \frac{2s}{v-2}$.

Теперь найдём значение $t$ при заданных условиях $s=10$ км и $v=6$ км/ч. Подставим эти значения в нашу формулу.

Время движения по шоссе: $t_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Время движения по просёлочной дороге: $t_2 = \frac{2 \cdot 10}{6-2} = \frac{20}{4} = 5$ часов.

Сложим полученное время, чтобы найти общее время в пути $t$: $t = t_1 + t_2 = \frac{5}{3} + 5 = 1\frac{2}{3} + 5 = 6\frac{2}{3}$ часа.

Значение $6\frac{2}{3}$ часа можно также представить как 6 часов 40 минут, так как $\frac{2}{3}$ часа равно $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут.

Ответ: $6 \frac{2}{3}$ ч.

107. Функция задана формулой y =2x - 53. Найдите значение функции при x, равном –2; 0; 16. При каком x значение функции равно 3; 0; –9?

$y=\frac{2x-5}{3}$

при x=-2; $y=\frac{2·(-2)-5}{3}; y=\frac{-4-5}{3}=\frac{-9}{3}=-3$

x=0; $y=\frac{2·0-5}{3}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3}$

x=16; $y=\frac{2·16-5}{3}=\frac{32-5}{3}=\frac{27}{3}=9$

y=3; $\frac{2x-5}{3}=3; 2x-5=9; 2x=14; x=7;$

y=0; $\frac{2x-5}{3}=0; 2x-5=0; 2x=5; x=2,5;$

y=-9; $\frac{2x-5}{3}=-9; 2x-5=-27; 2x=-22; x=-11$

Найдите значение функции при x, равном -2; 0; 16.

Чтобы найти значение функции $y$ при заданных значениях аргумента $x$, необходимо подставить эти значения в формулу функции $y = \frac{2x - 5}{3}$.

1. При $x = -2$:

$y = \frac{2 \cdot (-2) - 5}{3} = \frac{-4 - 5}{3} = \frac{-9}{3} = -3$.

2. При $x = 0$:

$y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{3} = \frac{0 - 5}{3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

3. При $x = 16$:

$y = \frac{2 \cdot 16 - 5}{3} = \frac{32 - 5}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Ответ: при $x=-2$ значение функции равно $-3$; при $x=0$ значение функции равно $-1\frac{2}{3}$; при $x=16$ значение функции равно $9$.

При каком x значение функции равно 3; 0; -9?

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение $y$, необходимо решить уравнение $y = \frac{2x - 5}{3}$ относительно $x$. Для этого сначала выразим $x$ из формулы:

$y = \frac{2x - 5}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$3y = 2x - 5$

Перенесем 5 в левую часть, поменяв знак:

$3y + 5 = 2x$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3y + 5}{2}$

Теперь подставим заданные значения $y$ в полученную формулу.

1. При $y = 3$:

$x = \frac{3 \cdot 3 + 5}{2} = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

2. При $y = 0$:

$x = \frac{3 \cdot 0 + 5}{2} = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

3. При $y = -9$:

$x = \frac{3 \cdot (-9) + 5}{2} = \frac{-27 + 5}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.

Ответ: значение функции равно $3$ при $x=7$; значение функции равно $0$ при $x=2,5$; значение функции равно $-9$ при $x=-11$.

108. Постройте графики функций y = –4x + 1 и y = 2x – 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

y=-4x+1

y=2x-3

$$\begin{gathered} x\approx 0,6; y\approx -1,7 \\ \left\{\begin{array}{l}y=-4x+1\\ y=2x-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -4x+1=2x-3 \\ -4x-2x=-3-1 \\ -6x=-4 \\ x=\frac{-4}{-6} \\ x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} y=-4·\frac{2}{3}+1=-\frac{8}{3}+1= \\ =\frac{-8+3}{3}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Решая задачу аналитически, мы получаем более точные результаты.

Ответ: $\left(\frac{2}{3}; -1\frac{2}{3}\right)$

Постройте графики функций $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$ и найдите координаты точки их пересечения.

Обе функции, $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$, являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Построим график функции $y = -4x + 1$.
- При $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
- При $x = 1$, $y = -4 \cdot 1 + 1 = -3$. Получаем точку $(1; -3)$.
Проведем прямую через точки $(0; 1)$ и $(1; -3)$.

2. Построим график функции $y = 2x - 3$.
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
- При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.
Проведем прямую через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$.

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точку пересечения. Координаты этой точки на графике соответствуют значениям $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ту же задачу решите без построения графиков.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, необходимо найти общее решение для уравнений $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$. Для этого приравняем правые части уравнений:
$-4x + 1 = 2x - 3$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$1 + 3 = 2x + 4x$
$4 = 6x$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Для нахождения координаты $y$ подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $y = 2x - 3$:
$y = 2 \cdot (\frac{2}{3}) - 3 = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Сравните полученные ответы.

Результат, полученный при построении графиков (графический метод), и результат, полученный решением системы уравнений (аналитический метод), полностью совпадают. В обоих случаях координаты точки пересечения равны $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$. Это подтверждает верность решения. Стоит отметить, что аналитический метод позволяет найти точные координаты, тогда как графический метод может дать лишь приблизительное значение, особенно если координаты являются дробными числами.

Ответ: Полученные ответы совпадают.

109. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?

Зная, что в первой яме осталось силоса в 2 раза меньше, чем во второй, составим и решим уравнение

1) 2(90-3x)=75-x
180-6x=75-x
-6x+x=75-180
-5x=-105
x=21

2) $21·3=63 \left(\text{т}\right)$

Ответ: 63 тонны

Решение:

Пусть из второй силосной ямы взяли $x$ тонн силоса. Тогда, согласно условию, из первой ямы взяли в 3 раза больше, то есть $3x$ тонн.

После того как взяли силос, в ямах осталось:

• в первой яме: $90 - 3x$ тонн;
• во второй яме: $75 - x$ тонн.

По условию задачи, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Это означает, что количество силоса во второй яме равно удвоенному количеству силоса в первой. На основании этого составим уравнение:

$75 - x = 2 \cdot (90 - 3x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$75 - x = 180 - 6x$

2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные числа — в правую. При переносе через знак равенства меняем знак слагаемого на противоположный:

$6x - x = 180 - 75$

3. Упростим обе части уравнения:

$5x = 105$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{105}{5}$

$x = 21$

Мы нашли, что из второй ямы взяли 21 тонну силоса.

Вопрос задачи — сколько тонн силоса взяли из первой ямы. Это количество равно $3x$.

Вычислим это значение:

$3 \cdot 21 = 63$ (тонн).

Ответ: из первой ямы взяли 63 тонны силоса.