Номер 105, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 105, страница 29.

105. Две речные пристани А и В расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t ч потребуется катеру на путь от А до В и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч? Найдите t при:

а) s = 50, v = 25;

б) s = 105, v = 40.

(v+5) км/ч - скорость по течению;

(v-5) км/ч - скорость против течения;

$$\begin{gathered} t=\frac{s}{v+5}+\frac{s}{v-5}=\frac{s(v-5)+s(v+5)}{(v+5)(v-5)}= \\ =\frac{sv-5s+sv+5s}{v^2-25}=\frac{2sv}{v^2-25} \end{gathered}$$

a) s=50, v=25

$$\begin{gathered} t=\frac{2·50·25}{25^2-25}=\frac{100·25}{25\left(25-1\right)}=\frac{100}{24}=\frac{25}{6}= \\ =4\frac{1}{6}=4\frac{10}{60}=4\text{ч} 10\text{мин} \end{gathered}$$

б) s=105, v=40

$$\begin{gathered} t=\frac{2·105·40}{{40}^2-25}=\frac{2·105·40}{40·40-25}=\frac{2·105·40}{8·5·8·5-25}= \\ =\frac{2·105·40}{25·(64-1)}=\frac{210·8}{5·63}=\frac{42·8}{63}=\frac{6·8}{9}= \\ =\frac{2·8}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}=5\frac{20}{60}=\text{5ч 20мин} \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо определить общее время $t$, которое катер затратит на путь из пункта А в пункт В и обратно. Обозначим расстояние между пристанями как $s$ км, собственную скорость катера (в стоячей воде) как $v$ км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_{теч} = 5$ км/ч.

Путь катера состоит из двух отрезков: по течению реки и против течения.

1. Движение по течению:
Когда катер плывет по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения:
$v_{по} = v + v_{теч} = v + 5$ (км/ч).
Время, затраченное на этот путь:
$t_{по} = \frac{s}{v_{по}} = \frac{s}{v + 5}$ (ч).

2. Движение против течения:
Когда катер плывет против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения:
$v_{пр} = v - v_{теч} = v - 5$ (км/ч).
Время, затраченное на обратный путь:
$t_{пр} = \frac{s}{v_{пр}} = \frac{s}{v - 5}$ (ч).

3. Общее время в пути:
Общее время $t$ — это сумма времени движения по течению и против течения:
$t = t_{по} + t_{пр} = \frac{s}{v + 5} + \frac{s}{v - 5}$.
Эта формула является общей для решения задачи. Теперь подставим в нее конкретные значения из каждого пункта.

а) $s = 50$, $v = 25$.
Подставляем значения в формулу:
$t = \frac{50}{25 + 5} + \frac{50}{25 - 5} = \frac{50}{30} + \frac{50}{20}$.
Сокращаем дроби:
$t = \frac{5}{3} + \frac{5}{2}$.
Приводим к общему знаменателю 6:
$t = \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6}$ (ч).
Это равно $4 \frac{1}{6}$ часа, или 4 часа 10 минут.
Ответ: $t = \frac{25}{6}$ ч.

б) $s = 105$, $v = 40$.
Подставляем значения в формулу:
$t = \frac{105}{40 + 5} + \frac{105}{40 - 5} = \frac{105}{45} + \frac{105}{35}$.
Выполняем деление:
$\frac{105}{45} = \frac{7 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{7}{3}$.
$\frac{105}{35} = 3$.
Складываем полученные значения:
$t = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}$ (ч).
Это равно $5 \frac{1}{3}$ часа, или 5 часов 20 минут.
Ответ: $t = \frac{16}{3}$ ч.