Номер 104, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 104, страница 29.

104. Докажите тождество

a) 1x + n - 1x + n + 1 = 1(x + n)(x + n + 1).

Используя это тождество, упростите выражение

б) 1(x + 1)(x + 2) + 1(x + 2)(x + 3) + 1(x + 3)(x + 4).

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}= \\ =\frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}= \\ =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+ \\ +\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}= \\ =\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{(x+1)(x+4)} \end{gathered}$$

Докажите тождество
Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Приведём дроби к общему знаменателю $(x+n)(x+n+1)$:
$ \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1 \cdot (x+n+1)}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{1 \cdot (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} $
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем и упростим числитель, раскрыв скобки:
$ \frac{(x+n+1) - (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} $
Мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

Используя это тождество, упростите выражение
Рассмотрим выражение $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} $.
Каждое слагаемое в этом выражении имеет вид, соответствующий правой части доказанного тождества $ \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} $.
Применим это тождество к каждому слагаемому суммы, представив его в виде разности двух дробей:
Для первого слагаемого (где $n=1$): $ \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} $
Для второго слагаемого (где $n=2$): $ \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} $
Для третьего слагаемого (где $n=3$): $ \frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} $
Теперь подставим полученные разности в исходное выражение:
$ \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right) + \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right) $
Это телескопическая сумма. Раскроем скобки и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые:
$ \frac{1}{x+1} - \cancel{\frac{1}{x+2}} + \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} $
Приведём оставшиеся дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+4)$ и выполним вычитание:
$ \frac{1 \cdot (x+4)}{(x+1)(x+4)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4 - (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)} $
Ответ: $ \frac{3}{(x+1)(x+4)} $.