Номер 108, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 108, страница 29.

108. Постройте графики функций y = –4x + 1 и y = 2x – 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

y=-4x+1

x	0	-1
y	1	5

y=2x-3

x	0	2
y	-3	1

$$\begin{gathered} x\approx 0,6; y\approx -1,7 \\ \left\{\begin{array}{l}y=-4x+1\\ y=2x-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -4x+1=2x-3 \\ -4x-2x=-3-1 \\ -6x=-4 \\ x=\frac{-4}{-6} \\ x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} y=-4·\frac{2}{3}+1=-\frac{8}{3}+1= \\ =\frac{-8+3}{3}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Решая задачу аналитически, мы получаем более точные результаты.

Ответ: $\left(\frac{2}{3}; -1\frac{2}{3}\right)$

Постройте графики функций $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$ и найдите координаты точки их пересечения.

Обе функции, $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$, являются линейными, их графики — прямые. Для построения прямой достаточно двух точек.

1. Построим график функции $y = -4x + 1$.
- При $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
- При $x = 1$, $y = -4 \cdot 1 + 1 = -3$. Получаем точку $(1; -3)$.
Проведем прямую через точки $(0; 1)$ и $(1; -3)$.

2. Построим график функции $y = 2x - 3$.
- При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
- При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.
Проведем прямую через точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$.

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точку пересечения. Координаты этой точки на графике соответствуют значениям $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ту же задачу решите без построения графиков.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков, необходимо найти общее решение для уравнений $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$. Для этого приравняем правые части уравнений:
$-4x + 1 = 2x - 3$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$1 + 3 = 2x + 4x$
$4 = 6x$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Для нахождения координаты $y$ подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе уравнение $y = 2x - 3$:
$y = 2 \cdot (\frac{2}{3}) - 3 = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Сравните полученные ответы.

Результат, полученный при построении графиков (графический метод), и результат, полученный решением системы уравнений (аналитический метод), полностью совпадают. В обоих случаях координаты точки пересечения равны $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$. Это подтверждает верность решения. Стоит отметить, что аналитический метод позволяет найти точные координаты, тогда как графический метод может дать лишь приблизительное значение, особенно если координаты являются дробными числами.

Ответ: Полученные ответы совпадают.