Номер 112, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 112, страница 32.

112. Выполните умножение:

a) 125x ∙ x³12a;

б) 8c²15m ∙ 14c²;

в) 11a⁴6 ∙ 12ba⁵;

г) 4n²3m² ∙ 9m2.

a) $\frac{12}{5x}·\frac{x^3}{12a}=\frac{12x^3}{5x·12a}=\frac{x^2}{5a}$

б) $\frac{8c^2}{15m}·\frac{1}{4c^2}=\frac{8c^2}{15m·4c^2}=\frac{2}{15m}$

в) $\frac{11a^4}{6}·\frac{12b}{a^5}=\frac{11a^4·12b}{6·a^5}=\frac{11·2b}{a}=\frac{22b}{a}$

г) $\frac{4n^2}{3m^2}·\frac{9m}{2}=\frac{4n^2·9m}{3m^2·2}=\frac{2n^2·3}{m}=\frac{6n^2}{m}$

а)

Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно.

$ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} = \frac{12 \cdot x^3}{5x \cdot 12a} $

Далее, необходимо сократить полученную дробь. Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель 12, который можно сократить:

$ \frac{\cancel{12} \cdot x^3}{5x \cdot \cancel{12}a} = \frac{x^3}{5xa} $

Теперь сократим переменные. В числителе стоит $x^3$, а в знаменателе $x$. По свойству степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $, получаем:

$ \frac{x^{3-1}}{5a} = \frac{x^2}{5a} $

Ответ: $ \frac{x^2}{5a} $

б)

Перемножим числители и знаменатели данных дробей:

$ \frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2} = \frac{8c^2 \cdot 1}{15m \cdot 4c^2} = \frac{8c^2}{60mc^2} $

Сократим общие множители. Сначала сократим $c^2$:

$ \frac{8\cancel{c^2}}{60m\cancel{c^2}} = \frac{8}{60m} $

Теперь сократим числовые коэффициенты 8 и 60. Их наибольший общий делитель равен 4:

$ \frac{8 \div 4}{60 \div 4 \cdot m} = \frac{2}{15m} $

Ответ: $ \frac{2}{15m} $

в)

Выполним умножение числителей и знаменателей:

$ \frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5} = \frac{11a^4 \cdot 12b}{6 \cdot a^5} $

Сократим числовые коэффициенты. 12 в числителе и 6 в знаменателе можно сократить на 6:

$ \frac{11a^4 \cdot (6 \cdot 2)b}{6 \cdot a^5} = \frac{11a^4 \cdot 2b}{a^5} $

Теперь сократим степени с основанием $a$. $ \frac{a^4}{a^5} = a^{4-5} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

$ \frac{11 \cdot 2b}{a} = \frac{22b}{a} $

Ответ: $ \frac{22b}{a} $

г)

Умножим дроби, перемножив их числители и знаменатели:

$ \frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2} = \frac{4n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot 2} $

Произведем сокращение. Сократим 4 и 2 на 2, а 9 и 3 на 3:

$ \frac{(2 \cdot \cancel{2})n^2 \cdot (\cancel{3} \cdot 3)m}{\cancel{3}m^2 \cdot \cancel{2}} = \frac{2n^2 \cdot 3m}{m^2} = \frac{6n^2m}{m^2} $

Теперь сократим степени с основанием $m$. $ \frac{m}{m^2} = \frac{1}{m} $:

$ \frac{6n^2\cancel{m}}{m^{\cancel{2}}} = \frac{6n^2}{m} $

Ответ: $ \frac{6n^2}{m} $