Номер 115, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 115, страница 33.

115. Выполните умножение:

a) -10x²y²9a² ∙ 27a³5xy;

б) 2m³35a³b² ∙ - 7a²b6m ;

в) 13x12mn² ∙ 4m²n;

г) -ab ∙ -11x²3a²b².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-\frac{10x^2{y}^2}{9a^2}·\frac{27a^3}{5xy}=-\frac{10x^2{y}^2·27a^3}{9a^2·5xy}= \\ =-\frac{2xy·3a}{1}=-6axy \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2m^3}{35a^3{b}^2}·\left(-\frac{7a^{2}b}{6m}\right)=-\frac{2m^3·7a^{2}b}{35a^3{b}^2·6m}= \\ =-\frac{m^2·1}{5ab·3}=-\frac{m^2}{15ab} \end{gathered}$$

в) $\frac{13x}{12m{n}^2}·4m^{2}n=\frac{13x·4m^{2}n}{12m{n}^2}=\frac{13n·m}{3n}=\frac{13xm}{3n}$

г) $-ab·\left(-\frac{11x^2}{3a^2{b}^2}\right)=\frac{ab·11x^2}{3a^2{b}^2}=\frac{11x^2}{3ab}$

а) Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение будет отрицательным, так как один из множителей имеет знак минус.
$ -\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} = -\frac{10x^2y^2 \cdot 27a^3}{9a^2 \cdot 5xy} $
Далее сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{10}{5}=2 $ и $ \frac{27}{9}=3 $. Их произведение равно $ 2 \cdot 3 = 6 $.
Сокращаем переменные, используя свойство степеней $ \frac{k^m}{k^n} = k^{m-n} $:
$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $
$ \frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y $
$ \frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a $
Объединяем полученные результаты:
$ - (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot y \cdot a) = -6axy $
Ответ: $ -6axy $

б) Выполним умножение $ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) $. Так как мы умножаем положительную дробь на отрицательную, результат будет отрицательным.
$ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) = -\frac{2m^3 \cdot 7a^2b}{35a^3b^2 \cdot 6m} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ и $ \frac{7}{35} = \frac{1}{5} $. Перемножив их, получим $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $.
Сократим переменные:
$ \frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2 $
$ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $ (значит, $ a $ остается в знаменателе)
$ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $ (значит, $ b $ остается в знаменателе)
Собираем полученное выражение:
$ -\frac{1}{15} \cdot \frac{m^2}{ab} = -\frac{m^2}{15ab} $
Ответ: $ -\frac{m^2}{15ab} $

в) Чтобы выполнить умножение $ \frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n $, представим второй множитель в виде дроби $ \frac{4m^2n}{1} $.
$ \frac{13x}{12mn^2} \cdot \frac{4m^2n}{1} = \frac{13x \cdot 4m^2n}{12mn^2} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.
Сократим переменные:
$ \frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m $
$ \frac{n}{n^2} = n^{1-2} = n^{-1} = \frac{1}{n} $ (значит, $ n $ остается в знаменателе)
Переменная $ x $ остается в числителе.
Собираем результат:
$ \frac{13 \cdot x \cdot m}{3 \cdot n} = \frac{13xm}{3n} $
Ответ: $ \frac{13xm}{3n} $

г) Выполним умножение $ -ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) $. Произведение двух отрицательных выражений является положительным.
$ -ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) = ab \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} $
Представим первый множитель в виде дроби $ \frac{ab}{1} $ и выполним умножение:
$ \frac{ab}{1} \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} = \frac{ab \cdot 11x^2}{3a^2b^2} $
Сократим переменные:
$ \frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} $ (значит, $ a $ остается в знаменателе)
$ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $ (значит, $ b $ остается в знаменателе)
В числителе остаются $ 11 $ и $ x^2 $, а в знаменателе $ 3, a, b $.
Собираем все вместе:
$ \frac{11x^2}{3ab} $
Ответ: $ \frac{11x^2}{3ab} $