Номер 114, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 114, страница 32.

114. Упростите выражение:

a) 48x⁵49y⁴ ∙ 7y²16x³;

б) 18m³11n³ ∙ 22n⁴9m²;

в) 72x⁴25y⁵ ∙ –2,5y⁴27x⁵;

г) –35ax²12b²y ∙ 8ab21xy.

a) $\frac{48x^5}{49y^4}·\frac{7y^2}{16x^3}=\frac{48x^5·7y^2}{49y^4·16x^3}=\frac{3x^2}{7y^2}$

б) $\frac{18m^3}{11n^3}·\frac{22n^4}{9m^2}=\frac{18m^3·22n^4}{11n^3·9m^2}=\frac{2m·2n}{1}=4mn$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{72x^4}{25y^5}·\left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)=-\frac{72x^4·2,5y^4}{25y^5·27x^5}= \\ =-\frac{8·1}{10y·3x}=-\frac{4}{5y·3x}=-\frac{4}{15xy} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-\frac{35a{x}^2}{12b^{2}y}·\frac{8ab}{21xy}=-\frac{35a{x}^2·8ab}{12b^{2}y·21xy}= \\ =-\frac{5ax·2a}{3by·3y}=-\frac{10a^{2}x}{9b{y}^2} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3}$ перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим общие множители.
$\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3} = \frac{48x^5 \cdot 7y^2}{49y^4 \cdot 16x^3}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{48 \cdot 7}{49 \cdot 16} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^2}{y^4}$
Сократим числовые коэффициенты: $48$ и $16$ на $16$, $7$ и $49$ на $7$.
$\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$
$\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
Объединим полученные результаты:
$\frac{3}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3x^2}{7y^2}$
Ответ: $\frac{3x^2}{7y^2}$

б) Для упрощения выражения $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2}$ выполним умножение дробей и сократим.
$\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2} = \frac{18m^3 \cdot 22n^4}{11n^3 \cdot 9m^2}$
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{18 \cdot 22}{11 \cdot 9} \cdot \frac{m^3}{m^2} \cdot \frac{n^4}{n^3}$
Сократим числа: $18$ и $9$ на $9$, $22$ и $11$ на $11$.
$\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$
Сократим переменные:
$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$
$\frac{n^4}{n^3} = n^{4-3} = n$
Объединим результаты:
$4 \cdot m \cdot n = 4mn$
Ответ: $4mn$

в) Упростим выражение $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)$. Результат умножения будет отрицательным.
$-\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \frac{2,5y^4}{27x^5} = -\frac{72 \cdot 2,5 \cdot x^4y^4}{25 \cdot 27 \cdot y^5x^5}$
Представим $2,5$ как $\frac{5}{2}$:
$-\frac{72 \cdot \frac{5}{2}}{25 \cdot 27} \cdot \frac{x^4y^4}{y^5x^5} = -\frac{36 \cdot 5}{25 \cdot 27} \cdot \frac{1}{xy}$
Сократим числовую дробь: $36$ и $27$ на $9$, $5$ и $25$ на $5$.
$-\frac{(4 \cdot 9) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)} \cdot \frac{1}{xy} = -\frac{4}{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{xy} = -\frac{4}{15xy}$
Ответ: $-\frac{4}{15xy}$

г) Упростим выражение $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}$.
$-\frac{35ax^2 \cdot 8ab}{12b^2y \cdot 21xy} = -\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 21} \cdot \frac{a \cdot a \cdot x^2 \cdot b}{b^2 \cdot x \cdot y \cdot y}$
Сократим числовые коэффициенты: $35$ и $21$ на $7$, $8$ и $12$ на $4$.
$-\frac{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4)}{(3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 7)} = -\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3} = -\frac{10}{9}$
Сократим переменные:
$\frac{a^2 x^2 b}{b^2 x y^2} = \frac{a^2 \cdot x^{2-1}}{b^{2-1} \cdot y^2} = \frac{a^2x}{by^2}$
Объединим результаты:
$-\frac{10}{9} \cdot \frac{a^2x}{by^2} = -\frac{10a^2x}{9by^2}$
Ответ: $-\frac{10a^2x}{9by^2}$