Номер 116, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 116, страница 33.

116. Упростите выражение:

a) 2a²b3xy ∙ 3x²y4ab² ∙ 6ax15b²;

б) 6m³n²35p³ ∙ 49n⁴m⁵p³ ∙ 5m⁴p²42n⁶.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a^{2}b}{3xy}·\frac{3x^{2}y}{4a{b}^2}·\frac{6ax}{15b^2}= \\ =\frac{2a^{2}b·3x^{2}y·6ax}{3xy·4a{b}^2·15b^2}=\frac{12a^{3}b{x}^{3}y}{60a{b}^{4}xy}=\frac{a^2{x}^2}{5b^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6m^3{n}^2}{35p^3}·\frac{49n^4}{m^5{p}^3}·\frac{5m^4{p}^2}{42n^6}= \\ =\frac{6m^3{n}^2·49n^4\mathbf{·}5m^{4}p2}{35p^3·m^5{p}^3·42n^6}= \\ =\frac{6·49·5m^7{n}^6{p}^2}{35\mathbf{·}42m^5{n}^6{p}^6}=\frac{49m^2}{7·7p^4}=\frac{m^2}{p^4} \end{gathered}$$

а)

Для упрощения выражения необходимо перемножить все дроби. Для этого перемножим их числители и знаменатели соответственно:

$ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} = \frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе и выполним умножение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $ (2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot b \cdot y = 36 a^3 x^3 b y $

Знаменатель: $ (3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y = 180 a b^4 x y $

Получим дробь:

$ \frac{36a^3x^3by}{180ab^4xy} $

Теперь сократим эту дробь. Сначала сократим числовой коэффициент:

$ \frac{36}{180} = \frac{36}{5 \cdot 36} = \frac{1}{5} $

Затем сократим переменные, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $

$ \frac{b}{b^4} = \frac{1}{b^{4-1}} = \frac{1}{b^3} $

$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $

$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $

Объединив все части, получим окончательный результат:

$ \frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 = \frac{a^2x^2}{5b^3} $

Ответ: $ \frac{a^2x^2}{5b^3} $

б)

Аналогично предыдущему пункту, перемножим числители и знаменатели дробей:

$ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} = \frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6} $

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:

Числитель: $ (6 \cdot 49 \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^4) \cdot (n^2 \cdot n^4) \cdot p^2 = 1470 \cdot m^{3+4} \cdot n^{2+4} \cdot p^2 = 1470 m^7 n^6 p^2 $

Знаменатель: $ (35 \cdot 42) \cdot m^5 \cdot (p^3 \cdot p^3) \cdot n^6 = 1470 \cdot m^5 \cdot p^{3+3} \cdot n^6 = 1470 m^5 p^6 n^6 $

Получим дробь:

$ \frac{1470m^7n^6p^2}{1470m^5p^6n^6} $

Сократим дробь. Числовые коэффициенты $1470$ взаимно уничтожаются. Сократим переменные:

$ \frac{m^7}{m^5} = m^{7-5} = m^2 $

$ \frac{n^6}{n^6} = n^{6-6} = n^0 = 1 $

$ \frac{p^2}{p^6} = \frac{1}{p^{6-2}} = \frac{1}{p^4} $

Можно было также сократить коэффициенты, разложив их на множители:

$ \frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{(2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 7)} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 5}{5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 7} = 1 $

Объединив все упрощенные части, получаем итоговый результат:

$ 1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4} $

Ответ: $ \frac{m^2}{p^4} $