Номер 117, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 117, страница 33.

117. Возведите в степень:

a) x2y³;

б) 3ac⁴;

в) n²10m³;

г) 9a³2b²².

a) ${\left(\frac{x}{2y}\right)}^3=\frac{x^3}{8y^3};$

б) ${\left(\frac{3a}{c}\right)}^4=\frac{81a^4}{c^4};$

в) ${\left(\frac{n^2}{10m}\right)}^3=\frac{n^6}{1000m^3};$

г) ${\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)}^2=\frac{81a^6}{4b^4}$

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{x}{2y})^3 = \frac{x^3}{(2y)^3}$

Далее, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$.

$(2y)^3 = 2^3 \cdot y^3 = 8y^3$

Собираем полученные части вместе:

$\frac{x^3}{8y^3}$

Ответ: $\frac{x^3}{8y^3}$

б) Применяем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере.

$(\frac{3a}{c})^4 = \frac{(3a)^4}{c^4}$

Возводим в степень числитель:

$(3a)^4 = 3^4 \cdot a^4 = 81a^4$

Знаменатель уже возведен в степень. Запишем итоговый результат:

$\frac{81a^4}{c^4}$

Ответ: $\frac{81a^4}{c^4}$

в) В этом примере мы также будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(\frac{n^2}{10m})^3 = \frac{(n^2)^3}{(10m)^3}$

Возводим в степень числитель:

$(n^2)^3 = n^{2 \cdot 3} = n^6$

Возводим в степень знаменатель:

$(10m)^3 = 10^3 \cdot m^3 = 1000m^3$

Объединяем числитель и знаменатель:

$\frac{n^6}{1000m^3}$

Ответ: $\frac{n^6}{1000m^3}$

г) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби, используя все перечисленные выше свойства степеней.

$(\frac{9a^3}{2b^2})^2 = \frac{(9a^3)^2}{(2b^2)^2}$

Преобразуем числитель:

$(9a^3)^2 = 9^2 \cdot (a^3)^2 = 81 \cdot a^{3 \cdot 2} = 81a^6$

Преобразуем знаменатель:

$(2b^2)^2 = 2^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4b^4$

Запишем конечную дробь:

$\frac{81a^6}{4b^4}$

Ответ: $\frac{81a^6}{4b^4}$