Номер 123, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 123, страница 33.

123. Представьте в виде дроби:

a) xya² + a³ ∙ a + a²x²y²;

б) 6ax² - x ∙ 2x - 23ax.

a) $\frac{xy}{a^2+a^3}·\frac{a+a^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy·a(1+a)}{a^2(1+a)·x^2{y}^2}=\frac{1}{axy}$

б) $\frac{6a}{x^2-x}·\frac{2x-2}{3ax}=\frac{6a·2(x-1)}{x(x-1)·3ax}=\frac{12a}{3a{x}^2}=\frac{4}{x^2}$

а) $\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2}$

Для того чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} = \frac{xy(a + a^2)}{(a^2 + a^3)x^2y^2}$

Чтобы упростить полученное выражение, разложим на множители числитель и знаменатель. Для этого вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $a + a^2 = a(1 + a)$

В знаменателе: $a^2 + a^3 = a^2(1 + a)$

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{xy \cdot a(1 + a)}{a^2(1 + a) \cdot x^2y^2}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $a$, $(1+a)$, $x$ и $y$.

$\frac{\cancel{x}\cancel{y} \cdot \cancel{a}(\cancel{1+a})}{a^{\cancel{2}}(\cancel{1+a}) \cdot x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a \cdot xy}$

После сокращения в числителе остается 1, а в знаменателе $axy$.

Ответ: $\frac{1}{axy}$

б) $\frac{6a}{x^2 - x} \cdot \frac{2x - 2}{3ax}$

Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{6a(2x - 2)}{(x^2 - x)3ax}$

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе, вынося общие множители за скобки:

В числителе: $2x - 2 = 2(x - 1)$

В знаменателе: $x^2 - x = x(x - 1)$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{6a \cdot 2(x - 1)}{x(x - 1) \cdot 3ax}$

Объединим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{12a(x - 1)}{3ax^2(x - 1)}$

Теперь сократим общие множители: $a$, $(x-1)$ и числовые коэффициенты (12 и 3):

$\frac{\cancel{12}^4\cancel{a}(\cancel{x - 1})}{\cancel{3}\cancel{a}x^2(\cancel{x - 1})} = \frac{4}{x^2}$

Ответ: $\frac{4}{x^2}$