Номер 130, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 130, страница 34.

130. Докажите, что если дробь ab является квадратом дроби, то и произведение ab можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Пусть $\frac{a}{b}={\left(\frac{m}{n}\right)}^2=\frac{m^2}{n^2},$ тогда $ab=\frac{a}{b}·b^2=\frac{m^2}{n^2}{b}^2={\left(\frac{mb}{n}\right)}^2$

Пусть дано, что дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом некоторой дроби. Обозначим эту некоторую дробь как $\frac{c}{d}$. Тогда, согласно условию, мы можем записать следующее равенство (при этом, по определению дроби, $b \neq 0$ и $d \neq 0$):

$\frac{a}{b} = \left(\frac{c}{d}\right)^2$

Наша задача — доказать, что произведение $ab$ также можно представить в виде квадрата некоторого выражения. Для этого преобразуем данное равенство. Сначала возведем дробь в правой части в квадрат:

$\frac{a}{b} = \frac{c^2}{d^2}$

Теперь выразим произведение $ab$. Для этого умножим обе части уравнения на $b^2$:

$\frac{a}{b} \cdot b^2 = \frac{c^2}{d^2} \cdot b^2$

В левой части равенства можно сократить $b$:

$a \cdot b = \frac{c^2 b^2}{d^2}$

Правую часть полученного равенства можно представить в виде квадрата дроби, используя свойства степеней:

$ab = \frac{(c \cdot b)^2}{d^2} = \left(\frac{cb}{d}\right)^2$

Таким образом, мы показали, что произведение $ab$ равно квадрату выражения $\frac{cb}{d}$. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\frac{a}{b} = \left(\frac{c}{d}\right)^2$, то произведение $ab = \left(\frac{cb}{d}\right)^2$, что является квадратом выражения $\frac{cb}{d}$.