Номер 127, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 127, страница 34.

127. Выполните умножение:

a) a² - b²a² - 3a ∙ 2a - 6b² + 2ab + a²;

б) bx + 3bx² - 25 ∙ 25 - 10x + x²ax + 3a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-b^2}{a^2-3a}·\frac{2a-6}{b^2+2ab+a^2}= \\ =\frac{(a-b)(a+b)·2(a-3)}{a(a-3)·{(b+a)}^2}=\frac{2(a-b)}{a(a+b)}=\frac{2a-2b}{a^2+ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{bx+3b}{x^2-25}·\frac{25-10x+x^2}{ax+3a}= \\ =\frac{b(x+3)·{(5-x)}^2}{(x-5)(x+5)·a(x+3)}= \\ =\frac{b{(x-5)}^2}{a(x-5)(x+5)}=\frac{b(x-5)}{a(x+5)}=\frac{bx-5b}{ax+5a} \end{gathered}$$

а) Для выполнения умножения дробей $ \frac{a^2-b^2}{a^2-3a} \cdot \frac{2a-6}{b^2+2ab+a^2} $ необходимо разложить числители и знаменатели на множители.

Разложим на множители каждый элемент дробей:
Числитель первой дроби: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ (формула разности квадратов).
Знаменатель первой дроби: $ a^2-3a = a(a-3) $ (вынесение общего множителя).
Числитель второй дроби: $ 2a-6 = 2(a-3) $ (вынесение общего множителя).
Знаменатель второй дроби: $ b^2+2ab+a^2 = a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $ (формула квадрата суммы).

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{a(a-3)} \cdot \frac{2(a-3)}{(a+b)^2} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (a+b) $ в числителе сокращается с одним из множителей $ (a+b) $ в знаменателе. Множитель $ (a-3) $ также сокращается.
$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a-3)}} \cdot \frac{2\cancel{(a-3)}}{(a+b)^{\cancel{2}}} = \frac{a-b}{a} \cdot \frac{2}{a+b} $

Теперь перемножим оставшиеся числители и знаменатели:
$ \frac{2(a-b)}{a(a+b)} $

Ответ: $ \frac{2(a-b)}{a(a+b)} $

б) Для выполнения умножения дробей $ \frac{bx+3b}{x^2-25} \cdot \frac{25-10x+x^2}{ax+3a} $ также разложим числители и знаменатели на множители.

Разложим на множители каждый элемент дробей:
Числитель первой дроби: $ bx+3b = b(x+3) $ (вынесение общего множителя).
Знаменатель первой дроби: $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $ (формула разности квадратов).
Числитель второй дроби: $ 25-10x+x^2 = x^2-10x+25 = (x-5)^2 $ (формула квадрата разности).
Знаменатель второй дроби: $ ax+3a = a(x+3) $ (вынесение общего множителя).

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$ \frac{b(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{(x-5)^2}{a(x+3)} $

Сократим одинаковые множители. Множитель $ (x+3) $ в числителе и знаменателе сокращается. Один из множителей $ (x-5) $ в числителе сокращается с множителем $ (x-5) $ в знаменателе.
$ \frac{b\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x-5)}(x+5)} \cdot \frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(x+3)}} = \frac{b}{x+5} \cdot \frac{x-5}{a} $

Перемножим оставшиеся числители и знаменатели:
$ \frac{b(x-5)}{a(x+5)} $

Ответ: $ \frac{b(x-5)}{a(x+5)} $