Страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

124. Упростите выражение:

a) y² - 1610xy ∙ 5y3y + 12;

б) b - aa ∙ 3aba² - b².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{y^2-16}{10xy}·\frac{5y}{3y+12}=\frac{(y-4)(y+4)·5y}{10xy·3(y+4)}= \\ =\frac{y-4}{2x·3}=\frac{y-4}{6x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b-a}{a}·\frac{3ab}{a^2-b^2}=\frac{(b-a)·3ab}{a(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{-3b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=-\frac{3b}{a+b} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12}$, необходимо разложить на множители числители и знаменатели дробей, а затем сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2-16 = y^2-4^2 = (y-4)(y+4)$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки:

$3y+12 = 3(y+4)$

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное произведение:

$\frac{(y-4)(y+4)}{10xy} \cdot \frac{5y}{3(y+4)}$

4. Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители это $(y+4)$, $y$ и $5$.

$\frac{(y-4)\cancel{(y+4)}}{\cancel{10}^2x\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{5}\cancel{y}}{3\cancel{(y+4)}} = \frac{y-4}{2x \cdot 3} = \frac{y-4}{6x}$

Ответ: $\frac{y-4}{6x}$

б) Упростим выражение $\frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2}$.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

2. В числителе первой дроби вынесем $-1$ за скобки, чтобы получить множитель $(a-b)$:

$b-a = -(a-b)$

3. Подставим полученные выражения в исходное произведение:

$\frac{-(a-b)}{a} \cdot \frac{3ab}{(a-b)(a+b)}$

4. Сократим общие множители $(a-b)$ и $a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-\cancel{(a-b)}}{\cancel{a}} \cdot \frac{3\cancel{a}b}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{-1 \cdot 3b}{a+b} = -\frac{3b}{a+b}$

Ответ: $-\frac{3b}{a+b}$

125. Представьте в виде дроби:

a) a² - 1a - b ∙ 7a - 7ba² + a;

б) b² + 2bcb + 3 ∙ 5b + 15b² - 4c²;

в) (x + 3)²2x - 4 ∙ x² - 43x + 9;

г) (5 - y)²2y + 12 ∙ y² - 362y - 10.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-1}{a-b}·\frac{7a-7b}{a^2+a}=\frac{(a-1)(a+1)·7(a-b)}{(a-b)a(a+1)}= \\ =\frac{7(a-1)}{a}=\frac{7a-7}{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{b^2+2bc}{b+3}·\frac{5b+15}{b^2-4c^2}= \\ =\frac{b(b+2c)·5(b+3)}{(b+3)·(b-2c)(b+2c)}=\frac{5b}{b-2c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(x+3)}^2}{2x-4}·\frac{x^2-4}{3x+9}=\frac{{(x+3)}^2·(x-2)(x+2)}{2(x-2)·3(x+3)}= \\ =\frac{(x+3)(x+2)}{6}=\frac{x^2+2x+3x+6}{6}= \\ =\frac{x^2+5x+6}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{{(5-y)}^2}{2y+12}·\frac{y^2-36}{2y-10}= \\ =\frac{{(y-5)}^2·(y-6)(y+6)}{2(y+6)·2(y-5)}=\frac{(y-5)(y-6)}{4}= \\ =\frac{y^2-6y-5y+30}{4}=\frac{y^2-11y+30}{4} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить произведение дробей в виде одной дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения сначала разложим числители и знаменатели на множители.
Исходное выражение: $ \frac{a^2 - 1}{a - b} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 + a} $.
Разложим на множители:
$ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) $ (формула разности квадратов).
$ 7a - 7b = 7(a - b) $ (вынесение общего множителя).
$ a^2 + a = a(a + 1) $ (вынесение общего множителя).
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - b} \cdot \frac{7(a - b)}{a(a + 1)} $.
Теперь выполним умножение и сократим общие множители $ (a - b) $ и $ (a + 1) $:
$ \frac{(a - 1)(a + 1) \cdot 7(a - b)}{(a - b) \cdot a(a + 1)} = \frac{7(a - 1)}{a} = \frac{7a - 7}{a} $.
Ответ: $ \frac{7a - 7}{a} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{b^2 + 2bc}{b + 3} \cdot \frac{5b + 15}{b^2 - 4c^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$ b^2 + 2bc = b(b + 2c) $.
$ 5b + 15 = 5(b + 3) $.
$ b^2 - 4c^2 = b^2 - (2c)^2 = (b - 2c)(b + 2c) $ (формула разности квадратов).
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{b(b + 2c)}{b + 3} \cdot \frac{5(b + 3)}{(b - 2c)(b + 2c)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (b + 3) $ и $ (b + 2c) $:
$ \frac{b(b + 2c) \cdot 5(b + 3)}{(b + 3) \cdot (b - 2c)(b + 2c)} = \frac{5b}{b - 2c} $.
Ответ: $ \frac{5b}{b - 2c} $.

в) Исходное выражение: $ \frac{(x + 3)^2}{2x - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{3x + 9} $.
Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$ 2x - 4 = 2(x - 2) $.
$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $ (формула разности квадратов).
$ 3x + 9 = 3(x + 3) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(x + 3)^2}{2(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{3(x + 3)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (x - 2) $ и $ (x + 3) $:
$ \frac{(x + 3)(x + 3) \cdot (x - 2)(x + 2)}{2(x - 2) \cdot 3(x + 3)} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{2 \cdot 3} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{6} $.
Ответ: $ \frac{(x + 3)(x + 2)}{6} $.

г) Исходное выражение: $ \frac{(5 - y)^2}{2y + 12} \cdot \frac{y^2 - 36}{2y - 10} $.
Разложим на множители числители и знаменатели. Учтем, что $ (5 - y)^2 = (-(y - 5))^2 = (y - 5)^2 $.
$ 2y + 12 = 2(y + 6) $.
$ y^2 - 36 = (y - 6)(y + 6) $ (формула разности квадратов).
$ 2y - 10 = 2(y - 5) $.
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{(y - 5)^2}{2(y + 6)} \cdot \frac{(y - 6)(y + 6)}{2(y - 5)} $.
Выполним умножение и сократим общие множители $ (y + 6) $ и $ (y - 5) $:
$ \frac{(y - 5)(y - 5) \cdot (y - 6)(y + 6)}{2(y + 6) \cdot 2(y - 5)} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{2 \cdot 2} = \frac{(y - 5)(y - 6)}{4} $.
Ответ: $ \frac{(y - 5)(y - 6)}{4} $.

126. Найдите значение выражения:

a) 5mn - m4m + n ∙ 16m² - n²5n - 1 если m =14, n = –3;

б) (x + 2)²3x + 9 ∙ 2x + 6x² - 4 если x = 0,5; –1,5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5mn-m}{4m+n}·\frac{16m^2-n^2}{5n-1}= \\ =\frac{m(5n-1)·(4m-n)(4m+n)}{(4m+n)(5n-1)}=m(4m-n) \end{gathered}$$

если $m=\frac{1}{4}, n=-3,$ то

$\frac{1}{4}·(4·\frac{1}{4}-(-3\left)\right)=\frac{1}{4}(1+3)=\frac{4}{4}=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(x+2)}^2}{3x+9}·\frac{2x+6}{x^2-4}=\frac{{(x+2)}^2·2(x+3)}{3(x+3)(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{2(x+2)}{3(x-2)}=\frac{2x+4}{3x-6} \end{gathered}$$

если $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ то

$$\begin{gathered} \frac{2·0,5+4}{3·0,5-6}=\frac{5}{1,5-6}=\frac{5}{-4,5}=-\frac{50}{45}= \\ =-\frac{10}{9}=-1\frac{1}{9} \end{gathered}$$

если $\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}$ то

$$\begin{gathered} \frac{2·(-1,5)+4}{3·(-1,5)-6}=\frac{-3+4}{-4,5-6}=\frac{1}{-10,5}= \\ =-\frac{10}{105}=-\frac{2}{21} \end{gathered}$$

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $m$:
$5mn-m = m(5n-1)$.

Числитель второй дроби является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$16m^2-n^2 = (4m)^2-n^2 = (4m-n)(4m+n)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное:

$\frac{5mn-m}{4m+n} \cdot \frac{16m^2-n^2}{5n-1} = \frac{m(5n-1)}{4m+n} \cdot \frac{(4m-n)(4m+n)}{5n-1}$

Сократим общие множители $(4m+n)$ и $(5n-1)$ в числителях и знаменателях дробей (при условии, что они не равны нулю, что выполняется для заданных значений $m$ и $n$):

$\frac{m\cancel{(5n-1)}}{\cancel{4m+n}} \cdot \frac{(4m-n)\cancel{(4m+n)}}{\cancel{5n-1}} = m(4m-n)$

Теперь подставим заданные значения $m=\frac{1}{4}$ и $n=-3$ в упрощенное выражение:

$m(4m-n) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot \frac{1}{4} - (-3)) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1

б)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Вынесем общие множители в знаменателе первой дроби и числителе второй дроби:
$3x+9 = 3(x+3)$
$2x+6 = 2(x+3)$

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные на множители выражения в исходное:

$\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2-4} = \frac{(x+2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

Сократим общие множители $(x+3)$ и $(x+2)$ в числителях и знаменателях дробей (при условии, что они не равны нулю, что выполняется для заданных значений $x$):

$\frac{(x+2)\cancel{(x+2)}}{3\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{2\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)}$

Теперь найдем значение выражения для каждого из заданных значений $x$.

1. Если $x = 0,5$:

$\frac{2(0,5+2)}{3(0,5-2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9}$.

2. Если $x = -1,5$:

$\frac{2(-1,5+2)}{3(-1,5-2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}$.

Ответ: при $x=0,5$ значение выражения равно $-\frac{10}{9}$; при $x=-1,5$ значение выражения равно $-\frac{2}{21}$.

127. Выполните умножение:

a) a² - b²a² - 3a ∙ 2a - 6b² + 2ab + a²;

б) bx + 3bx² - 25 ∙ 25 - 10x + x²ax + 3a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-b^2}{a^2-3a}·\frac{2a-6}{b^2+2ab+a^2}= \\ =\frac{(a-b)(a+b)·2(a-3)}{a(a-3)·{(b+a)}^2}=\frac{2(a-b)}{a(a+b)}=\frac{2a-2b}{a^2+ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{bx+3b}{x^2-25}·\frac{25-10x+x^2}{ax+3a}= \\ =\frac{b(x+3)·{(5-x)}^2}{(x-5)(x+5)·a(x+3)}= \\ =\frac{b{(x-5)}^2}{a(x-5)(x+5)}=\frac{b(x-5)}{a(x+5)}=\frac{bx-5b}{ax+5a} \end{gathered}$$

а) Для выполнения умножения дробей $ \frac{a^2-b^2}{a^2-3a} \cdot \frac{2a-6}{b^2+2ab+a^2} $ необходимо разложить числители и знаменатели на множители.

Разложим на множители каждый элемент дробей:
Числитель первой дроби: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ (формула разности квадратов).
Знаменатель первой дроби: $ a^2-3a = a(a-3) $ (вынесение общего множителя).
Числитель второй дроби: $ 2a-6 = 2(a-3) $ (вынесение общего множителя).
Знаменатель второй дроби: $ b^2+2ab+a^2 = a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $ (формула квадрата суммы).

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{a(a-3)} \cdot \frac{2(a-3)}{(a+b)^2} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (a+b) $ в числителе сокращается с одним из множителей $ (a+b) $ в знаменателе. Множитель $ (a-3) $ также сокращается.
$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{a\cancel{(a-3)}} \cdot \frac{2\cancel{(a-3)}}{(a+b)^{\cancel{2}}} = \frac{a-b}{a} \cdot \frac{2}{a+b} $

Теперь перемножим оставшиеся числители и знаменатели:
$ \frac{2(a-b)}{a(a+b)} $

Ответ: $ \frac{2(a-b)}{a(a+b)} $

б) Для выполнения умножения дробей $ \frac{bx+3b}{x^2-25} \cdot \frac{25-10x+x^2}{ax+3a} $ также разложим числители и знаменатели на множители.

Разложим на множители каждый элемент дробей:
Числитель первой дроби: $ bx+3b = b(x+3) $ (вынесение общего множителя).
Знаменатель первой дроби: $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $ (формула разности квадратов).
Числитель второй дроби: $ 25-10x+x^2 = x^2-10x+25 = (x-5)^2 $ (формула квадрата разности).
Знаменатель второй дроби: $ ax+3a = a(x+3) $ (вынесение общего множителя).

Подставим полученные разложения в исходное выражение:
$ \frac{b(x+3)}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{(x-5)^2}{a(x+3)} $

Сократим одинаковые множители. Множитель $ (x+3) $ в числителе и знаменателе сокращается. Один из множителей $ (x-5) $ в числителе сокращается с множителем $ (x-5) $ в знаменателе.
$ \frac{b\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x-5)}(x+5)} \cdot \frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(x+3)}} = \frac{b}{x+5} \cdot \frac{x-5}{a} $

Перемножим оставшиеся числители и знаменатели:
$ \frac{b(x-5)}{a(x+5)} $

Ответ: $ \frac{b(x-5)}{a(x+5)} $

128. Представьте в виде дроби:

a) mx² - my²2m + 8 ∙ 3m + 12my + mx;

б) ax + ayx² - 2xy + y² ∙ x² - xy7x + 7y;

в) x³ - y³x + y ∙ x² - y²x² + xy + y²;

г) a² - 1a³ + 1 ∙ a² - a + 1a² + 2a + 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{m{x}^2-m{y}^2}{2m+8}·\frac{3m+12}{my+mx}= \\ =\frac{m(x^2-y^2)·3(m+4)}{2(m+4)·m(y+x)}= \\ =\frac{3(x-y)(x+y)}{2(x+y)}=\frac{3(x-y)}{2}=\frac{3x-3y}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{ax+ay}{x^2-2xy+y^2}·\frac{x^2-xy}{7x+7y}= \\ =\frac{a(x+y)·x(x-y)}{{(x-y)}^2·7(x+y)}=\frac{ax}{7(x-y)}=\frac{ax}{7x-7y} \end{gathered}$$

в) $\frac{x^3-y^3}{x+y}·\frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x+y)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}= \\ ={(x-y)}^2=x^2-2xy+y^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a^2-1}{a^3+1}·\frac{a^2-a+1}{a^2+2a+1}= \\ =\frac{(a-1)(a+1)(a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1){(a+1)}^2}= \\ =\frac{a-1}{{(a+1)}^2}=\frac{a-1}{a^2+2a+1} \end{gathered}$$

а) $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx}$

Чтобы умножить дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения выражения сначала разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей.

Числитель первой дроби: $mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2)$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получим $m(x-y)(x+y)$.

Знаменатель первой дроби: $2m + 8$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(m+4)$.

Числитель второй дроби: $3m + 12$. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(m+4)$.

Знаменатель второй дроби: $my + mx$. Вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(y+x)$ или $m(x+y)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в произведение и сократим общие множители:

$\frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} = \frac{m(x-y)(x+y) \cdot 3(m+4)}{2(m+4) \cdot m(x+y)}$

Сокращаем общие множители $m$, $(x+y)$ и $(m+4)$:

$\frac{\cancel{m}(x-y)\cancel{(x+y)} \cdot 3\cancel{(m+4)}}{2\cancel{(m+4)} \cdot \cancel{m}\cancel{(x+y)}} = \frac{3(x-y)}{2}$

Ответ: $\frac{3(x-y)}{2}$

б) $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $ax + ay = a(x+y)$ (вынесение общего множителя).

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$ (вынесение общего множителя).

Знаменатель второй дроби: $7x + 7y = 7(x+y)$ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{x(x-y)}{7(x+y)} = \frac{a(x+y) \cdot x(x-y)}{(x-y)^2 \cdot 7(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$. Обратите внимание, что $(x-y)^2 = (x-y)(x-y)$:

$\frac{a\cancel{(x+y)} \cdot x\cancel{(x-y)}}{(x-y)^{\cancel{2}} \cdot 7\cancel{(x+y)}} = \frac{ax}{7(x-y)}$

Ответ: $\frac{ax}{7(x-y)}$

в) $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ (формула разности кубов).

Числитель второй дроби: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби $x^2 + xy + y^2$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x + y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2) \cdot (x-y)(x+y)}{(x + y) \cdot (x^2 + xy + y^2)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2 + xy + y^2)$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x^2 + xy + y^2)} \cdot (x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{(x + y)} \cdot \cancel{(x^2 + xy + y^2)}} = (x-y)(x-y) = (x-y)^2$

Ответ: $(x-y)^2$

г) $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1}$

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель первой дроби: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$ (формула разности квадратов).

Знаменатель первой дроби: $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1)$ (формула суммы кубов).

Числитель второй дроби $a^2 - a + 1$ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.

Знаменатель второй дроби: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$ (формула квадрата суммы).

Подставим разложенные выражения в произведение:

$\frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{(a+1)^2} = \frac{(a-1)(a+1)(a^2 - a + 1)}{(a+1)(a^2 - a + 1)(a+1)^2}$

Сократим общие множители $(a+1)$ и $(a^2 - a + 1)$:

$\frac{(a-1)\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}}{\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2 - a + 1)}(a+1)^2} = \frac{a-1}{(a+1)^2}$

Ответ: $\frac{a-1}{(a+1)^2}$

129. Упростите выражение:

a) x² - 10x + 253x + 12 ∙ x² - 162x - 10;

б) 1 - a²4a + 8b ∙ a² + 4ab + 4b²3 - 3a;

в) y² - 25y² + 12y + 36 ∙ 3y + 182y + 10;

г) b³ + 818b² + 27b ∙ 2b + 3b² - 2b + 4.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-10x+25}{3x+12}·\frac{x^2-16}{2x-10}= \\ =\frac{{(x-5)}^2(x-4)(x+4)}{3(x+4)·2(x-5)}= \\ =\frac{(x-5)(x-4)}{6}=\frac{x^2-4x-5x+20}{6}= \\ =\frac{x^2-9x+20}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1-a^2}{4a+8b}·\frac{a^2+4ab+4b^2}{3-3a}= \\ =\frac{(1-a)(1+a){(a+2b)}^2}{4(a+2b)·3(1-a)}= \\ =\frac{(1+a)(a+2b)}{12}=\frac{a+2b+a^2+2ab}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y^2-25}{y^2+12y+36}·\frac{3y+18}{2y+10}= \\ =\frac{(y-5)(y+5)·3(y+6)}{{(y+6)}^2·2(y+5)}= \\ =\frac{(y-5)·3}{(y+6)·2}=\frac{3y-15}{2y+12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b^3+8}{18b^2+27b}·\frac{2b+3}{b^2-2b+4}= \\ =\frac{(b+2)(b^2-2b+4)(2b+3)}{9b(2b+3)(b^2-2b+4)}=\frac{b+2}{9b} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10} $, разложим на множители числители и знаменатели дробей. Числитель первой дроби $ x^2 - 10x + 25 $ является полным квадратом разности: $ (x-5)^2 $. Знаменатель первой дроби $ 3x + 12 $ упрощается вынесением общего множителя за скобки: $ 3(x+4) $. Числитель второй дроби $ x^2 - 16 $ является разностью квадратов: $ (x-4)(x+4) $. Знаменатель второй дроби $ 2x - 10 $ упрощается вынесением общего множителя: $ 2(x-5) $. Подставим разложенные на множители выражения в исходное: $ \frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)} $. Теперь перемножим дроби и сократим общие множители $ (x-5) $ и $ (x+4) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{(x-5)^2(x-4)(x+4)}{3(x+4) \cdot 2(x-5)} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

Ответ: $ \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

б) Для упрощения выражения $ \frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $ разложим на множители числители и знаменатели. $ 1 - a^2 = (1-a)(1+a) $ (формула разности квадратов). $ 4a + 8b = 4(a+2b) $ (вынесение общего множителя). $ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 $ (формула квадрата суммы). $ 3 - 3a = 3(1-a) $ (вынесение общего множителя). Подставим полученные выражения и выполним умножение: $ \frac{(1-a)(1+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)} = \frac{(1-a)(1+a)(a+2b)^2}{4(a+2b) \cdot 3(1-a)} $. Сократим общие множители $ (1-a) $ и $ (a+2b) $: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{4 \cdot 3} = \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

Ответ: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

в) Упростим выражение $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $, разложив на множители его части. $ y^2 - 25 = (y-5)(y+5) $ (разность квадратов). $ y^2 + 12y + 36 = (y+6)^2 $ (квадрат суммы). $ 3y + 18 = 3(y+6) $ (вынесение общего множителя). $ 2y + 10 = 2(y+5) $ (вынесение общего множителя). Подставим полученные выражения в исходное: $ \frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)} = \frac{(y-5)(y+5) \cdot 3(y+6)}{(y+6)^2 \cdot 2(y+5)} $. Сократим общие множители $ (y+5) $ и $ (y+6) $: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

Ответ: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

г) Для упрощения выражения $ \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} $ разложим на множители числители и знаменатели. $ b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - 2b + 4) $ (формула суммы кубов). $ 18b^2 + 27b = 9b(2b+3) $ (вынесение общего множителя). Выражение $ b^2 - 2b + 4 $ в знаменателе второй дроби является неполным квадратом разности и на действительные множители не раскладывается. Подставим полученные разложения в исходное выражение: $ \frac{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}{9b(2b+3)} \cdot \frac{2b+3}{b^2 - 2b + 4} $. Перемножим дроби и сократим общие множители $ (2b+3) $ и $ (b^2 - 2b + 4) $: $ \frac{(b+2)(b^2 - 2b + 4)(2b+3)}{9b(2b+3)(b^2 - 2b + 4)} = \frac{b+2}{9b} $.

Ответ: $ \frac{b+2}{9b} $.

130. Докажите, что если дробь ab является квадратом дроби, то и произведение ab можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Пусть $\frac{a}{b}={\left(\frac{m}{n}\right)}^2=\frac{m^2}{n^2},$ тогда $ab=\frac{a}{b}·b^2=\frac{m^2}{n^2}{b}^2={\left(\frac{mb}{n}\right)}^2$

Пусть дано, что дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом некоторой дроби. Обозначим эту некоторую дробь как $\frac{c}{d}$. Тогда, согласно условию, мы можем записать следующее равенство (при этом, по определению дроби, $b \neq 0$ и $d \neq 0$):

$\frac{a}{b} = \left(\frac{c}{d}\right)^2$

Наша задача — доказать, что произведение $ab$ также можно представить в виде квадрата некоторого выражения. Для этого преобразуем данное равенство. Сначала возведем дробь в правой части в квадрат:

$\frac{a}{b} = \frac{c^2}{d^2}$

Теперь выразим произведение $ab$. Для этого умножим обе части уравнения на $b^2$:

$\frac{a}{b} \cdot b^2 = \frac{c^2}{d^2} \cdot b^2$

В левой части равенства можно сократить $b$:

$a \cdot b = \frac{c^2 b^2}{d^2}$

Правую часть полученного равенства можно представить в виде квадрата дроби, используя свойства степеней:

$ab = \frac{(c \cdot b)^2}{d^2} = \left(\frac{cb}{d}\right)^2$

Таким образом, мы показали, что произведение $ab$ равно квадрату выражения $\frac{cb}{d}$. Это доказывает исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Если $\frac{a}{b} = \left(\frac{c}{d}\right)^2$, то произведение $ab = \left(\frac{cb}{d}\right)^2$, что является квадратом выражения $\frac{cb}{d}$.

131. Упростите выражение

a² - 4ac + 3bca² - ab + bc - ac +a + 3bb - a +a + 2ca - c.

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4ac+3bc}{a^2-ab+bc-ac}+\frac{a+3b}{b-a}+\frac{a+2c}{a-c}= \\ =\frac{a^2-4ac+3bc}{(a^2-ab)+(bc-ac)}+\frac{a+3b}{b-a}+\frac{a+2c}{a-c}= \\ =\frac{a^2-4ac+3bc}{a(a-b)+(b-c)}-\frac{a+3b}{a-b}+ \\ +\frac{a+2c}{a-c}=\frac{a^2-4ac+3bc}{(a-c)(a-b)}- \\ -\frac{(a+3b)(a-c)}{(a-c)(a-b)}+\frac{(a+2c)(a-b)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}{a}^2-4ac+3bc-(a^2-ac+3ab-\\ -3bc)+a^2-ab+2ac-2bc\end{array}}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}{\bcancel{a}}^2-4ac+3bc-{\bcancel{a}}^2+ac-3ab+\\ +3bc+a^2-ab+2ac-2bc\end{array}}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{a^2-4ab+4bc-ac}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{(a^2-ac)-(4ab-4bc)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{a(a-c)-4b(a-c)}{(a-c)(a-b)}= \\ =\frac{(a-4b)(a-c)}{(a-c)(a-b)}=\frac{a-4b}{a-b} \end{gathered}$$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для начала преобразуем знаменатель первой дроби и вторую дробь.

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби $ a^2 - ab + bc - ac $ методом группировки:

$ a^2 - ab + bc - ac = (a^2 - ab) + (bc - ac) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) $

2. Преобразуем вторую дробь $ \frac{a + 3b}{b - a} $. Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки:

$ \frac{a + 3b}{b - a} = \frac{a + 3b}{-(a - b)} = -\frac{a + 3b}{a - b} $

3. Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{a + 2c}{a - c} $

4. Общим знаменателем для всех дробей является выражение $ (a - b)(a - c) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $ (a - c) $, а третьей — на $ (a - b) $:

$ \frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{(a + 3b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)} $

5. Выполним действия с дробями, записав всё под общим знаменателем:

$ \frac{(a^2 - 4ac + 3bc) - (a + 3b)(a - c) + (a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)} $

6. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (a + 3b)(a - c) = a^2 - ac + 3ab - 3bc $

$ (a + 2c)(a - b) = a^2 - ab + 2ac - 2bc $

Числитель примет вид:

$ a^2 - 4ac + 3bc - (a^2 - ac + 3ab - 3bc) + (a^2 - ab + 2ac - 2bc) = $

$ = a^2 - 4ac + 3bc - a^2 + ac - 3ab + 3bc + a^2 - ab + 2ac - 2bc = $

$ = (a^2 - a^2 + a^2) + (-3ab - ab) + (-4ac + ac + 2ac) + (3bc + 3bc - 2bc) = $

$ = a^2 - 4ab - ac + 4bc $

7. Теперь разложим получившийся числитель $ a^2 - 4ab - ac + 4bc $ на множители методом группировки:

$ (a^2 - 4ab) - (ac - 4bc) = a(a - 4b) - c(a - 4b) = (a - 4b)(a - c) $

8. Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь и сократим общий множитель $ (a - c) $:

$ \frac{(a - 4b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} = \frac{a - 4b}{a - b} $

Ответ: $ \frac{a - 4b}{a - b} $.