Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить числители этих дробей.
2. Знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило можно записать с помощью формулы:
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
где $a$ и $b$ — это числители дробей, а $c$ — их общий знаменатель.

Пример:
Найдем сумму дробей $\frac{3}{11}$ и $\frac{5}{11}$.
Согласно правилу, складываем числители: $3 + 5 = 8$.
Знаменатель оставляем прежним: $11$.
Таким образом, получаем результат: $\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3+5}{11} = \frac{8}{11}$.

Если в результате сложения получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему), из нее следует выделить целую часть. Если полученная дробь является сократимой, ее необходимо сократить.

Ответ: Для того чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

где a и b – это числители, а c – их общий знаменатель (при этом $c \neq 0$).

Пример выполнения вычитания:

Рассмотрим вычитание дробей $\frac{9}{14}$ и $\frac{5}{14}$.

1. Убеждаемся, что знаменатели дробей одинаковы. В данном случае они равны 14.

2. Вычитаем числитель второй дроби из числителя первой: $9 - 5 = 4$.

3. Записываем полученный результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним:

$\frac{9}{14} - \frac{5}{14} = \frac{9-5}{14} = \frac{4}{14}$

4. Проверяем, можно ли сократить полученную дробь. Числитель 4 и знаменатель 14 имеют общий делитель 2. Сокращаем дробь:

$\frac{4 \div 2}{14 \div 2} = \frac{2}{7}$

Таким образом, конечный результат вычитания равен $\frac{2}{7}$.

Ответ: Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы найти разность двух дробей, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тот же. Если полученная дробь является сократимой, ее необходимо сократить.

3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Поясните свой ответ на примерах:

a) a + 2a² - ab + b - 2b² - ab;

б) 8a² - 16 - 4a² - 4a.

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

a) $\frac{a+2}{a^2-ab}+\frac{b-2}{b^2-ab}=\frac{a+2}{a(a-b)}+\frac{b-2}{b(b-a)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a+2}{a(a-b)}--\frac{b-2}{b(a-b)}=\frac{b(a+2)-a(b-2)}{ab(a-b)}= \\ =\frac{ab+2b-ab+2a}{ab(a-b)}=\frac{2a+2b}{ab(a-b)} \end{gathered}$$

б) $\frac{8}{a^2-16}-\frac{4}{a^2-4a}=\frac{8}{(a-4)(a+4)}-\frac{4}{a(a-4)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{8a-4(a+4)}{a(a-4)(a+4)}=\frac{8a-4a-16}{a(a-4)(a+4)}= \\ =\frac{4a-16}{a(a-4)(a+4)}=\frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)}=\frac{4}{a(a+4)} \end{gathered}$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить знаменатели каждой дроби на множители.
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он составляется из всех уникальных множителей, взятых в наивысшей степени, встречающейся в разложениях.
3. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для этого нужно разделить НОЗ на знаменатель этой дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате все дроби будут приведены к общему знаменателю.
5. Сложить или вычесть числители полученных дробей, а знаменатель оставить прежним.
6. Упростить полученную дробь, если это возможно, сократив общие множители в числителе и знаменателе.

Рассмотрим эти шаги на примерах.

а) $\frac{a+2}{a^2-ab} + \frac{b-2}{b^2-ab}$

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$a^2-ab = a(a-b)$

$b^2-ab = b(b-a) = -b(a-b)$

2. Перепишем выражение с разложенными знаменателями. Знак "минус" из второго знаменателя вынесем перед дробью:

$\frac{a+2}{a(a-b)} + \frac{b-2}{-b(a-b)} = \frac{a+2}{a(a-b)} - \frac{b-2}{b(a-b)}$

3. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ab(a-b)$.

4. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.

5. Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{b(a+2)}{ab(a-b)} - \frac{a(b-2)}{ab(a-b)} = \frac{b(a+2) - a(b-2)}{ab(a-b)}$

6. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{ab+2b - ab+2a}{ab(a-b)} = \frac{2a+2b}{ab(a-b)} = \frac{2(a+b)}{ab(a-b)}$

Ответ: $\frac{2(a+b)}{ab(a-b)}$

б) $\frac{8}{a^2-16} - \frac{4}{a^2-4a}$

1. Разложим на множители знаменатели. Первый знаменатель — это разность квадратов, а во втором можно вынести общий множитель:

$a^2-16 = (a-4)(a+4)$

$a^2-4a = a(a-4)$

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $a(a-4)(a+4)$.

3. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $(a+4)$.

4. Умножим числители на их дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{8a}{a(a-4)(a+4)} - \frac{4(a+4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{8a - 4(a+4)}{a(a-4)(a+4)}$

5. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{8a - 4a - 16}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4a-16}{a(a-4)(a+4)}$

6. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{4(a-4)}{a(a-4)(a+4)} = \frac{4}{a(a+4)}$

Ответ: $\frac{4}{a(a+4)}$