Страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

82. Преобразуйте в дробь выражение:

a) x +1y;

б) 1a - a;

в) 3a - a4;

г) 5b - 2b;

д) a² + ba - a;

е) 2p - 4p² + 12p;

ж) (a - b)²2a+ b;

з) c -(b + c)²2b.

a) $x+\frac{1}{y}=\frac{xy+1}{y};$

б) $\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^2}{a};$

в) $3a-\frac{a}{4}=\frac{12a-a}{4}=\frac{11a}{4};$

г) $5b-\frac{2}{b}=\frac{5b^2-2}{b}$

д) $\frac{a^2+b}{a}-a=\frac{a^2+b-a^2}{a}=\frac{b}{a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}2p-\frac{4p^2+1}{2p}=\frac{4p^2-(4p^2+1)}{2p}= \\ =\frac{4p^2-4p^2-1}{2p}=-\frac{1}{2p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{{(a-b)}^2}{2a}+b=\frac{{(a-b)}^2+2ab}{2a}= \\ =\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{2a}=\frac{a^2+b^2}{2a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}c-\frac{{(b+c)}^2}{2b}=\frac{2bc-{(b+c)}^2}{2b}= \\ =\frac{2bc-(b^2+2bc+c^2)}{2b}=\frac{2bc-b^2-2bc-c^2}{2b}= \\ =\frac{-b^2-c^2}{2b}=-\frac{b^2+c^2}{2b} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $x + \frac{1}{y}$ в дробь, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общим знаменателем является $y$. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем $y$: $x = \frac{x \cdot y}{y} = \frac{xy}{y}$. Теперь выполним сложение дробей: $x + \frac{1}{y} = \frac{xy}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$.
Ответ: $\frac{xy + 1}{y}$

б) Для преобразования выражения $\frac{1}{a} - a$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{1}{a} - a = \frac{1}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{1 - a^2}{a}$.
Ответ: $\frac{1 - a^2}{a}$

в) Чтобы преобразовать выражение $3a - \frac{a}{4}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $4$. Представим $3a$ в виде дроби со знаменателем $4$: $3a = \frac{3a \cdot 4}{4} = \frac{12a}{4}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{12a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{12a - a}{4} = \frac{11a}{4}$.
Ответ: $\frac{11a}{4}$

г) Для преобразования выражения $5b - \frac{2}{b}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $b$. Представим $5b$ в виде дроби со знаменателем $b$: $5b = \frac{5b \cdot b}{b} = \frac{5b^2}{b}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{5b^2}{b} - \frac{2}{b} = \frac{5b^2 - 2}{b}$.
Ответ: $\frac{5b^2 - 2}{b}$

д) Чтобы преобразовать выражение $\frac{a^2 + b}{a} - a$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $a$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $a$: $a = \frac{a \cdot a}{a} = \frac{a^2}{a}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{a^2 + b}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{(a^2 + b) - a^2}{a} = \frac{a^2 + b - a^2}{a} = \frac{b}{a}$.
Ответ: $\frac{b}{a}$

е) Для преобразования выражения $2p - \frac{4p^2 + 1}{2p}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2p$. Представим $2p$ в виде дроби со знаменателем $2p$: $2p = \frac{2p \cdot 2p}{2p} = \frac{4p^2}{2p}$. Теперь выполним вычитание, обращая внимание на знак минус перед дробью: $\frac{4p^2}{2p} - \frac{4p^2 + 1}{2p} = \frac{4p^2 - (4p^2 + 1)}{2p} = \frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p} = -\frac{1}{2p}$.
Ответ: $-\frac{1}{2p}$

ж) Чтобы преобразовать выражение $\frac{(a - b)^2}{2a} + b$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2a$. Представим $b$ как $\frac{2ab}{2a}$. Раскроем квадрат разности в числителе: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Теперь сложим дроби: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2ab}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{2a}$

з) Для преобразования выражения $c - \frac{(b + c)^2}{2b}$ в дробь, приведем слагаемые к общему знаменателю $2b$. Представим $c$ как $\frac{2bc}{2b}$. Раскроем квадрат суммы в числителе второй дроби: $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$. Теперь выполним вычитание: $\frac{2bc}{2b} - \frac{b^2 + 2bc + c^2}{2b} = \frac{2bc - (b^2 + 2bc + c^2)}{2b} = \frac{2bc - b^2 - 2bc - c^2}{2b} = \frac{-b^2 - c^2}{2b} = -\frac{b^2 + c^2}{2b}$.
Ответ: $-\frac{b^2 + c^2}{2b}$

83. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 5 -c2;

б) 5y² -15y² - 13;

в) a + b -a - 33;

г) 2b² - 1b - b + 5;

a) $5-\frac{c}{2}=\frac{10-c}{2}$

б) $5y^2-\frac{15y^2-1}{3}=\frac{15y^2-15y^2+1}{3}=\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}a+b-\frac{a-3}{3}=\frac{3(a+b)-(a-3)}{3}= \\ =\frac{3a+3b-a+3}{3}=\frac{2a+3b+3}{3} \end{gathered}$$

г) $\frac{2b^2-1}{b}-b+5=\frac{2b^2-1-b^2+5b}{b}=\frac{b^2+5b-1}{b}$

а) Чтобы преобразовать выражение $5 - \frac{c}{2}$ в дробь, необходимо привести все его части к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен 2.

Представим число 5 в виде дроби со знаменателем 2, умножив его на $\frac{2}{2}$:

$5 = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$5 - \frac{c}{2} = \frac{10}{2} - \frac{c}{2} = \frac{10 - c}{2}$

Ответ: $\frac{10 - c}{2}$

б) Преобразуем выражение $5y^2 - \frac{15y^2 - 1}{3}$. Общий знаменатель здесь равен 3.

Приведем $5y^2$ к знаменателю 3:

$5y^2 = \frac{5y^2 \cdot 3}{3} = \frac{15y^2}{3}$

Теперь выполним вычитание дробей. Важно помнить, что знак "минус" перед дробью относится ко всему ее числителю. Поэтому числитель второй дроби нужно взять в скобки:

$\frac{15y^2}{3} - \frac{15y^2 - 1}{3} = \frac{15y^2 - (15y^2 - 1)}{3}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные:

$\frac{15y^2 - 15y^2 + 1}{3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Преобразуем выражение $a + b - \frac{a - 3}{3}$. Общий знаменатель равен 3.

Представим сумму $(a + b)$ в виде дроби со знаменателем 3:

$a + b = \frac{(a + b) \cdot 3}{3} = \frac{3a + 3b}{3}$

Выполним вычитание, взяв числитель второй дроби в скобки:

$\frac{3a + 3b}{3} - \frac{a - 3}{3} = \frac{3a + 3b - (a - 3)}{3}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a + 3b - a + 3}{3} = \frac{(3a - a) + 3b + 3}{3} = \frac{2a + 3b + 3}{3}$

Ответ: $\frac{2a + 3b + 3}{3}$

г) Преобразуем выражение $\frac{2b^2 - 1}{b} - b + 5$. Общий знаменатель здесь $b$.

Приведем слагаемые $(- b + 5)$ к знаменателю $b$:

$-b + 5 = \frac{(-b + 5) \cdot b}{b} = \frac{-b^2 + 5b}{b}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2b^2 - 1}{b} + \frac{-b^2 + 5b}{b} = \frac{(2b^2 - 1) + (-b^2 + 5b)}{b}$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2b^2 - 1 - b^2 + 5b}{b} = \frac{(2b^2 - b^2) + 5b - 1}{b} = \frac{b^2 + 5b - 1}{b}$

Ответ: $\frac{b^2 + 5b - 1}{b}$

84. Представьте в виде дроби:

a) 1 -a5 - b4;

б) 12 - 1a - 1b;

в) a - 22 - 1 - a - 33;

г) 4a - a - 14 - a + 23;

д) a + b4 - a + b;

е) a + b - a² + b²a.

a) $1-\frac{a}{5}-\frac{b}{4}=\frac{20-4a-5b}{20}$

б) $12-\frac{1}{a}-\frac{1}{6}=\frac{12ab-b-a}{ab}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a-2}{2}-1-\frac{a-3}{3}=\frac{3(a-2)-6-2(a-3)}{6}= \\ =\frac{3a-6-6-2a+6}{6}=\frac{a-6}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}4a-\frac{a-1}{4}-\frac{a+2}{3}= \\ =\frac{12·4a-3(a-1)-4(a+2)}{12}= \\ =\frac{48a-3a+3-4a-8}{12}=\frac{41a-5}{12} \end{gathered}$$

д) $\frac{a+b}{4}-a+b=\frac{a+b-4a+4b}{4}=\frac{5b-3a}{4}$

е) $a+b-\frac{a^2+b^2}{a}=\frac{a^2+ab-a^2-b^2}{a}=\frac{ab-b^2}{a}$

а) Чтобы представить выражение $1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4}$ в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 5 и 4 это 20. Домножим каждый член на соответствующий множитель:
$1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4} = \frac{1 \cdot 20}{20} - \frac{a \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{b \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{20}{20} - \frac{4a}{20} - \frac{5b}{20}$
Теперь объединим числители под общим знаменателем:
$\frac{20 - 4a - 5b}{20}$
Ответ: $\frac{20 - 4a - 5b}{20}$

б) Для выражения $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ общим знаменателем будет $ab$. Приведем все члены к этому знаменателю:
$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{12 \cdot ab}{ab} - \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{12ab}{ab} - \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}$
Объединим числители:
$\frac{12ab - b - a}{ab}$
Ответ: $\frac{12ab - a - b}{ab}$

в) В выражении $\frac{a-2}{2} - 1 - \frac{a-3}{3}$ наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Приведем все члены к знаменателю 6:
$\frac{3(a-2)}{6} - \frac{1 \cdot 6}{6} - \frac{2(a-3)}{6} = \frac{3a-6}{6} - \frac{6}{6} - \frac{2a-6}{6}$
Объединим числители, внимательно раскрывая скобки:
$\frac{(3a-6) - 6 - (2a-6)}{6} = \frac{3a - 6 - 6 - 2a + 6}{6}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(3a-2a) + (-6-6+6)}{6} = \frac{a-6}{6}$
Ответ: $\frac{a-6}{6}$

г) Для выражения $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3}$ наименьший общий знаменатель для 4 и 3 это 12. Приведем все члены к этому знаменателю:
$\frac{4a \cdot 12}{12} - \frac{3(a-1)}{12} - \frac{4(a+2)}{12} = \frac{48a}{12} - \frac{3a-3}{12} - \frac{4a+8}{12}$
Объединим числители:
$\frac{48a - (3a-3) - (4a+8)}{12} = \frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{(48a-3a-4a) + (3-8)}{12} = \frac{41a - 5}{12}$
Ответ: $\frac{41a - 5}{12}$

д) В выражении $\frac{a+b}{4} - a + b$ общий знаменатель равен 4. Приведем члены $-a$ и $b$ к этому знаменателю:
$\frac{a+b}{4} - \frac{a \cdot 4}{4} + \frac{b \cdot 4}{4} = \frac{a+b}{4} - \frac{4a}{4} + \frac{4b}{4}$
Объединим все под общим знаменателем:
$\frac{(a+b) - 4a + 4b}{4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a-4a) + (b+4b)}{4} = \frac{-3a+5b}{4}$
Ответ: $\frac{5b-3a}{4}$

е) Для выражения $a + b - \frac{a^2+b^2}{a}$ общий знаменатель равен $a$. Приведем члены $a$ и $b$ к этому знаменателю:
$\frac{a \cdot a}{a} + \frac{b \cdot a}{a} - \frac{a^2+b^2}{a} = \frac{a^2}{a} + \frac{ab}{a} - \frac{a^2+b^2}{a}$
Объединим числители:
$\frac{a^2 + ab - (a^2+b^2)}{a} = \frac{a^2 + ab - a^2 - b^2}{a}$
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{ab - b^2}{a}$
Ответ: $\frac{ab - b^2}{a}$

85. Представьте выражение в виде дроби:

a) x - x - y2 + x + y4;

б) 3x - 2 - 5x;

в) 3 - 2x - y4 + x + 4y12;

г) 6a - 4b5 - b + 7a3 - 2.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x-\frac{x-y}{2}+\frac{x+y}{4}=\frac{4x-2(x-y)+(x+y)}{4}= \\ =\frac{4x-2x+2y+x+y}{4}=\frac{3x+3y}{4} \end{gathered}$$

б) $\frac{3}{x}-2-\frac{5}{x}=\frac{3-2x-5}{x}=\frac{-2x-2}{x}=-\frac{2x+2}{x}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3-\frac{2x-y}{4}+\frac{x+4y}{12}= \\ =\frac{12·3-3(2x-y)+(x+4y)}{12}= \\ =\frac{36-6x+3y+x+4y}{12}=\frac{7y-5x+36}{12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{6a-4b}{5}-\frac{b+7a}{3}-2= \\ =\frac{3(6a-4b)-5(b+7a)-2·15}{15}= \\ =\frac{18a-12b-5b-35a-30}{15}= \\ =\frac{-17a-17b-30}{15}=-\frac{17a+17b+30}{15} \end{gathered}$$

а) $x - \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{4}$

Чтобы представить это выражение в виде одной дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 2 и 4 это 4.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 4:

$x = \frac{x}{1} = \frac{x \cdot 4}{4} = \frac{4x}{4}$

$\frac{x-y}{2} = \frac{(x-y) \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2(x-y)}{4} = \frac{2x-2y}{4}$

Теперь можно сложить и вычесть дроби:

$ \frac{4x}{4} - \frac{2x-2y}{4} + \frac{x+y}{4} = \frac{4x - (2x-2y) + (x+y)}{4}$

Раскрываем скобки в числителе. Важно правильно учесть знак минус перед второй дробью:

$\frac{4x - 2x + 2y + x + y}{4}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x - 2x + x) + (2y + y)}{4} = \frac{3x+3y}{4}$

Ответ: $\frac{3x+3y}{4}$

б) $\frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x}$

Для приведения этого выражения к виду одной дроби, найдем общий знаменатель. В данном случае это $x$.

Приведем член $-2$ к знаменателю $x$:

$-2 = -\frac{2}{1} = -\frac{2x}{x}$

Теперь объединим все члены под общим знаменателем:

$\frac{3}{x} - \frac{2x}{x} - \frac{5}{x} = \frac{3 - 2x - 5}{x}$

Приведем подобные слагаемые в числителе (вычтем 5 из 3):

$\frac{-2 - 2x}{x}$

Ответ: $\frac{-2-2x}{x}$

в) $3 - \frac{2x-y}{4} + \frac{x+4y}{12}$

Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 4 и 12 это 12.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 12:

$3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{36}{12}$

$\frac{2x-y}{4} = \frac{(2x-y) \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{6x-3y}{12}$

Теперь выполним операции с дробями:

$\frac{36}{12} - \frac{6x-3y}{12} + \frac{x+4y}{12} = \frac{36 - (6x-3y) + (x+4y)}{12}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36 - 6x + 3y + x + 4y}{12}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{36 + (-6x+x) + (3y+4y)}{12} = \frac{36 - 5x + 7y}{12}$

Ответ: $\frac{36-5x+7y}{12}$

г) $\frac{6a-4b}{5} - \frac{b+7a}{3} - 2$

Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 3 и 1 это 15.

Приведем каждый член выражения к знаменателю 15:

$\frac{6a-4b}{5} = \frac{(6a-4b) \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18a-12b}{15}$

$\frac{b+7a}{3} = \frac{(b+7a) \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5b+35a}{15}$

$2 = \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 15}{15} = \frac{30}{15}$

Теперь объединим дроби:

$\frac{18a-12b}{15} - \frac{5b+35a}{15} - \frac{30}{15} = \frac{(18a-12b) - (5b+35a) - 30}{15}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18a - 12b - 5b - 35a - 30}{15}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(18a-35a) + (-12b-5b) - 30}{15} = \frac{-17a - 17b - 30}{15}$

Ответ: $\frac{-17a-17b-30}{15}$

86. Представьте выражение в виде дроби:

a) b - cb + bb + c;

б) x + 1x - 2 - x + 3x;

в) mm - n - nm + n;

г) 2a2a - 1 - 12a + 1;

д) aa + 2 - aa - 2;

е) p3p - 1 - p1 + 3p.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b-c}{b}+\frac{b}{b+c}=\frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)}+\frac{b^2}{b(b+c)}= \\ =\frac{b^2-c^2+b^2}{b(b+c)}=\frac{2b^2-c^2}{b^2+bc} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+1}{x-2}-\frac{x+3}{x}=\frac{x(x+1)}{x(x-2)}-\frac{(x-2)(x+3)}{x(x-2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2+x-(x^2+3x-2x-6)}{x(x-2)}= \\ =\frac{x^2+x-x^2-x+6}{x(x-2)}=\frac{6}{x^2-2x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}=\frac{m(m+n)-n(m-n)}{(m-n)(m+n)}= \\ =\frac{m^2+mn-mn+n^2}{m^2-n^2}=\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2a}{2a-1}-\frac{1}{2a+1}=\frac{2a(2a+1)-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}= \\ =\frac{4a^2+2a-2a+1}{(2a-1)(2a+1)}=\frac{4a^2+1}{4a^2-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a}{a+2}-\frac{a}{a-2}=\frac{a(a-2)-a(a+2)}{(a+2)(a-2)}= \\ =\frac{a^2-2a-a^2-2a}{(a+2)(a-2)}=\frac{-4a}{a^2-4}= \\ =-\frac{4a}{a^2-4}=\frac{4a}{4-a^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{p}{3p-1}-\frac{p}{1+3p}=\frac{p(3p+1)-p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)}= \\ =\frac{3p^2+p-3p^2+p}{(3p-1)(3p+1)}=\frac{2p}{9p^2-1} \end{gathered}$$

а) $\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей со знаменателями $b$ и $b+c$ — это их произведение $b(b+c)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(b+c)$, а второй дроби — на $b$:
$\frac{(b-c)(b+c)}{b(b+c)} + \frac{b \cdot b}{b(b+c)} = \frac{(b-c)(b+c) + b^2}{b(b+c)}$
Раскроем скобки в числителе. Выражение $(b-c)(b+c)$ является формулой разности квадратов: $b^2 - c^2$.
$\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$
Ответ: $\frac{2b^2 - c^2}{b(b+c)}$

б) $\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+3}{x}$
Общий знаменатель для дробей со знаменателями $x-2$ и $x$ — это $x(x-2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю: домножим первую дробь на $x$, а вторую на $(x-2)$:
$\frac{(x+1)x}{x(x-2)} - \frac{(x+3)(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x(x+1) - (x+3)(x-2)}{x(x-2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$x(x+1) = x^2+x$
$(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$
Подставим полученные выражения в числитель и упростим:
$(x^2+x) - (x^2 + x - 6) = x^2+x - x^2 - x + 6 = 6$
В результате получаем дробь:
$\frac{6}{x(x-2)}$
Ответ: $\frac{6}{x(x-2)}$

в) $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n}$
Общий знаменатель — $(m-n)(m+n)$. Это формула разности квадратов, равная $m^2-n^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m+n) - n(m-n)}{m^2 - n^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$m(m+n) = m^2 + mn$
$n(m-n) = mn - n^2$
Подставим и упростим числитель:
$(m^2 + mn) - (mn - n^2) = m^2 + mn - mn + n^2 = m^2 + n^2$
Итоговая дробь:
$\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$
Ответ: $\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}$

г) $\frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a+1}$
Общий знаменатель — $(2a-1)(2a+1)$. Это формула разности квадратов, равная $(2a)^2 - 1^2 = 4a^2-1$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a(2a+1)}{(2a-1)(2a+1)} - \frac{1(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a(2a+1) - (2a-1)}{4a^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе:
$2a(2a+1) = 4a^2 + 2a$
Подставим и упростим числитель:
$(4a^2 + 2a) - (2a-1) = 4a^2 + 2a - 2a + 1 = 4a^2 + 1$
Итоговая дробь:
$\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$
Ответ: $\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}$

д) $\frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$
Общий знаменатель — $(a+2)(a-2)$, что по формуле разности квадратов равно $a^2-4$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{a(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a(a-2) - a(a+2)}{a^2 - 4}$
Раскроем скобки в числителе:
$a(a-2) = a^2 - 2a$
$a(a+2) = a^2 + 2a$
Подставим и упростим числитель:
$(a^2 - 2a) - (a^2 + 2a) = a^2 - 2a - a^2 - 2a = -4a$
Итоговая дробь:
$\frac{-4a}{a^2 - 4}$
Ответ: $\frac{-4a}{a^2 - 4}$

е) $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{1+3p}$
Заметим, что $1+3p = 3p+1$. Выражение принимает вид $\frac{p}{3p-1} - \frac{p}{3p+1}$.
Общий знаменатель — $(3p-1)(3p+1)$, что по формуле разности квадратов равно $(3p)^2 - 1^2 = 9p^2-1$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{p(3p+1)}{(3p-1)(3p+1)} - \frac{p(3p-1)}{(3p-1)(3p+1)} = \frac{p(3p+1) - p(3p-1)}{9p^2 - 1}$
Раскроем скобки в числителе:
$p(3p+1) = 3p^2 + p$
$p(3p-1) = 3p^2 - p$
Подставим и упростим числитель:
$(3p^2 + p) - (3p^2 - p) = 3p^2 + p - 3p^2 + p = 2p$
Итоговая дробь:
$\frac{2p}{9p^2 - 1}$
Ответ: $\frac{2p}{9p^2 - 1}$

87. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 3x5(x + y) - 2y3(x + y);

б) a²5(a - b) - b²4(a - b);

в) 3ax - ay + 2by - bx;

г) 13cbm - bn - 12bcn - cm.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x}{5(x+y)}-\frac{2y}{3(x+y)}=\frac{9x}{15(x+y)}-\frac{10y}{15(x+y)}= \\ =\frac{9x-10y}{15(x+y)}=\frac{9x-10y}{15x+15y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2}{5(a-b)}-\frac{b^2}{4(a-b)}=\frac{4a^2}{20(a-b)}- \\ -\frac{5b^2}{20(a-b)}=\frac{4a^2-5b^2}{20a-20b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3}{ax-ay}+\frac{2}{by-bx}=\frac{3}{a(x-y)}+\frac{2}{b(y-x)}= \\ =\frac{3}{a(x-y)}-\frac{2}{b(x-y)}=\frac{3b-2a}{ab(x-y)}=\frac{3b-2a}{abx-aby} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{13c}{bm-bn}-\frac{12b}{cn-cm}=\frac{13c}{b(m-n)}-\frac{12b}{c(n-m)}= \\ =\frac{13c^2}{bc(m-n)}+\frac{12b^2}{bc(m-n)}=\frac{13c^2+12b^2}{bcm-bcn} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $ в дробь, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $ 5(x+y) $ и $ 3(x+y) $.
Общий множитель у знаменателей — это $ (x+y) $. Коэффициенты при скобках — 5 и 3. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 3 равно 15.
Следовательно, общий знаменатель для этих дробей будет $ 15(x+y) $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби ($ \frac{3x}{5(x+y)} $): $ \frac{15(x+y)}{5(x+y)} = 3 $.
Для второй дроби ($ \frac{2y}{3(x+y)} $): $ \frac{15(x+y)}{3(x+y)} = 5 $.
Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:
$ \frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x}{15(x+y)} - \frac{10y}{15(x+y)} = \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $.
Ответ: $ \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

б) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $ в дробь, приведем дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $ 5(a-b) $ и $ 4(a-b) $.
Общий множитель $ (a-b) $. Коэффициенты 5 и 4. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 4 равно 20.
Общий знаменатель: $ 20(a-b) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{20(a-b)}{5(a-b)} = 4 $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{20(a-b)}{4(a-b)} = 5 $.
Умножим числители на их дополнительные множители и найдем разность:
$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.
Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

в) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $ в дробь, сначала упростим знаменатели.
Вынесем общие множители за скобки в каждом знаменателе:
$ ax - ay = a(x-y) $
$ by - bx = b(y-x) = -b(x-y) $
Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:
$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $
Общий знаменатель для дробей $ \frac{3}{a(x-y)} $ и $ \frac{2}{b(x-y)} $ будет $ ab(x-y) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.
Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.
Ответ: $ \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $

г) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $ в дробь, упростим знаменатели.
Вынесем общие множители за скобки:
$ bm - bn = b(m-n) $
$ cn - cm = c(n-m) = -c(m-n) $
Подставим преобразованные знаменатели в выражение:
$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $
Знак минус перед второй дробью поменялся на плюс, так как мы вынесли знак минус из знаменателя.
Общий знаменатель дробей: $ bc(m-n) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ c $, для второй — $ b $.
Выполним сложение:
$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $

88. Выполните действие:

a) p2x + 1 - p3x - 2;

б) 6ax - 2y + 2ax + y;

в) a5x - 10 + a6x - 12;

г) 5b12a - 36 - b48 - 16a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{p}{2x+1}-\frac{p}{3x-2}=\frac{p(3x-2)-p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}= \\ =\frac{3px-2p-2px-p}{(2x+1)(3x-2)}=\frac{px-3p}{6x^2-4x+3x-2}= \\ =\frac{px-3p}{6x^2-x-2} \end{gathered}$$

б) $\frac{6a}{x-2y}+\frac{2a}{x+y}=\frac{6a(x+y)+2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{6ax+6ay+2ax-4ay}{(x-2y)(x+y)}= \\ =\frac{8ax+2ay}{x^2+xy-2xy-2y^2}=\frac{8ax+2ay}{x^2-xy-2y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a}{5x-10}+\frac{a}{6x-12}=\frac{a}{5(x-2)}+\frac{a}{6(x-2)}= \\ =\frac{6a}{30(x-2)}+\frac{5a}{30(x-2)}=\frac{11a}{30(x-2)}=\frac{11a}{30x-60} \end{gathered}$$

г) $\frac{5b}{12a-36}-\frac{b}{48-16a}=\frac{5b}{12(a-3)}-\frac{b}{16(3-a)}=$
$$\begin{gathered} =\frac{5b}{12(a-3)}+\frac{b}{16(a-3)}=\frac{20b}{48(a-3)}+ \\ +\frac{3b}{48(a-3)}=\frac{23b}{48(a-3)}=\frac{23b}{48a-144} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{p}{2x+1} - \frac{p}{3x-2}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели $2x+1$ и $3x-2$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен их произведению: $(2x+1)(3x-2)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $3x-2$, а второй — на $2x+1$:
$\frac{p(3x-2)}{(2x+1)(3x-2)} - \frac{p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)}$
Выполним вычитание числителей под общим знаменателем:
$\frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3px - 2p - (2px + p)}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{3px - 2p - 2px - p}{(2x+1)(3x-2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и вынесем общий множитель $p$ за скобки:
$\frac{px - 3p}{(2x+1)(3x-2)} = \frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$
Ответ: $\frac{p(x-3)}{(2x+1)(3x-2)}$

б) Чтобы сложить дроби $\frac{6a}{x-2y} + \frac{2a}{x+y}$, приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(x-2y)(x+y)$.
Домножим первую дробь на $x+y$, а вторую — на $x-2y$:
$\frac{6a(x+y)}{(x-2y)(x+y)} + \frac{2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)}$
Сложим числители под общим знаменателем:
$\frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)} = \frac{6ax + 6ay + 2ax - 4ay}{(x-2y)(x+y)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и вынесем общий множитель $2a$ за скобки:
$\frac{8ax + 2ay}{(x-2y)(x+y)} = \frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$
Ответ: $\frac{2a(4x+y)}{(x-2y)(x+y)}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}$. Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти наименьший общий знаменатель.
$5x-10 = 5(x-2)$
$6x-12 = 6(x-2)$
Наименьший общий знаменатель — это произведение наименьшего общего кратного коэффициентов (НОК(5, 6) = 30) и общего множителя $(x-2)$, то есть $30(x-2)$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 6, для второй — 5:
$\frac{a \cdot 6}{5(x-2) \cdot 6} + \frac{a \cdot 5}{6(x-2) \cdot 5} = \frac{6a}{30(x-2)} + \frac{5a}{30(x-2)}$
Сложим числители:
$\frac{6a+5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}$
Ответ: $\frac{11a}{30(x-2)}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}$. Разложим знаменатели на множители:
$12a-36 = 12(a-3)$
$48-16a = 16(3-a) = -16(a-3)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}$
Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед дробью, что изменит знак операции на "плюс":
$\frac{5b}{12(a-3)} + \frac{b}{16(a-3)}$
Теперь найдем общий знаменатель для $12(a-3)$ и $16(a-3)$. НОК(12, 16) = 48. Общий знаменатель равен $48(a-3)$.
Домножим первую дробь на 4, а вторую на 3:
$\frac{5b \cdot 4}{48(a-3)} + \frac{b \cdot 3}{48(a-3)} = \frac{20b}{48(a-3)} + \frac{3b}{48(a-3)}$
Сложим числители:
$\frac{20b+3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}$
Ответ: $\frac{23b}{48(a-3)}$