Страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

57. Представьте выражение в виде дроби:

a) 2x - 3y4xy + 11y - 2x4xy;

б) 5a + b⁵8b - 5a - 7b⁵8b;

в) a - 2 8a + 2a+58a - 3 - a8a;

г) 11a - 2b4a + 2a - 3b4a - a - b4a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x-3y}{4xy}+\frac{11y-2x}{4xy}=\frac{2x-3y+11y-2x}{4xy}= \\ =\frac{8y}{4xy}=\frac{2}{x}; \end{gathered}$$

б) $\frac{5a+b^5}{8b}-\frac{5a-7b^5}{8b}=\frac{(5a+b^5)-(5a-7b^5)}{8b}=$
$=\frac{5a+b^5-5a+7b^5}{8b}=\frac{8b^5}{8b}=b^4;$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a-2}{8a}+\frac{2a+5}{8a}-\frac{3-a}{8a}= \\ =\frac{(a-2)+(2a+5)-(3-a)}{8a}= \\ =\frac{a-2+2a+5-3+a}{8a}=\frac{4a}{8a}=\frac{1}{2}=0,5; \end{gathered}$$

г) $\frac{11a-2b}{4a}+\frac{2a-3b}{4a}-\frac{a-b}{4a}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(11a-2b)+(2a-3b)-(a-b)}{4a}= \\ =\frac{12a-4b}{4a}=\frac{4(3a-b)}{4a}=\frac{3a-b}{a} \end{gathered}$$

а) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $4xy$, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений: $\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy} = \frac{(2x - 3y) + (11y - 2x)}{4xy}$. Далее упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые: $2x - 3y + 11y - 2x = (2x - 2x) + (-3y + 11y) = 0 + 8y = 8y$. В результате получаем дробь $\frac{8y}{4xy}$. Сократим эту дробь на общий множитель $4y$: $\frac{8y}{4xy} = \frac{2}{x}$.
Ответ: $\frac{2}{x}$.

б) Знаменатели дробей одинаковы и равны $8b$. Чтобы выполнить вычитание, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, не забывая про скобки: $\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b} = \frac{(5a + b^5) - (5a - 7b^5)}{8b}$. Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у вычитаемого выражения: $5a + b^5 - 5a + 7b^5 = (5a - 5a) + (b^5 + 7b^5) = 0 + 8b^5 = 8b^5$. Получаем дробь $\frac{8b^5}{8b}$. Сократим дробь на общий множитель $8b$: $\frac{8b^5}{8b} = b^{5-1} = b^4$.
Ответ: $b^4$.

в) Все три дроби имеют общий знаменатель $8a$. Объединим их числители под общим знаменателем: $\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a} = \frac{(a - 2) + (2a + 5) - (3 - a)}{8a}$. Раскроем скобки в числителе: $a - 2 + 2a + 5 - 3 + a$. Приведем подобные слагаемые: $(a + 2a + a) + (-2 + 5 - 3) = 4a + 0 = 4a$. Таким образом, получаем дробь $\frac{4a}{8a}$. Сократим ее на $4a$: $\frac{4a}{8a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Знаменатель у всех дробей одинаковый и равен $4a$. Выполним действия с числителями: $\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a} = \frac{(11a - 2b) + (2a - 3b) - (a - b)}{4a}$. Раскроем скобки в числителе: $11a - 2b + 2a - 3b - a + b$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(11a + 2a - a) + (-2b - 3b + b) = 12a - 4b$. Получаем дробь $\frac{12a - 4b}{4a}$. Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки: $\frac{4(3a - b)}{4a}$. Сократим дробь на 4: $\frac{3a - b}{a}$.
Ответ: $\frac{3a - b}{a}$.

58. Представьте выражение в виде дроби:

a) 17 - 12xx - 10 - xx;

б) 12p - 13p² - 1 - 3p3p²;

в) 6y - 35y - y + 25y;

г) 3p - q5p - 2p + 6q5p + p - 4q5p;

д) 5c - 2d4c - 3d4c + d - 5c4c;

е) 2ab - 1 - 6ab + 13 - 8ab.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{17-12x}{x}-\frac{10-x}{x}=\frac{(17-12x)-(10-x)}{x}= \\ =\frac{17-12x-10+x}{x}=\frac{7-11x}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{12p-1}{3p^2}-\frac{1-3p}{3p^2}=\frac{(12p-1)-(1-3p)}{3p^2}= \\ =\frac{12p-1-1+3p}{3p^2}=\frac{15p-2}{3p^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{6y-3}{5y}-\frac{y+2}{5y}=\frac{(6y-3)-(y+2)}{5y}= \\ =\frac{6y-3-y-2}{5y}=\frac{5y-5}{5y}=\frac{5(y-1)}{5y}=\frac{y-1}{y} \end{gathered}$$

г) $\frac{3p-q}{5p}-\frac{2p+6q}{5p}+\frac{p-4q}{5p}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(3p-q)-(2p+6q)+(p-4q)}{5p}= \\ =\frac{3p-q-2p-6q+p-4q}{5p}=\frac{2p-11q}{5p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{5c-2d}{4c}-\frac{3d}{4c}+\frac{d-5c}{4c}= \\ =\frac{(5c-2d)-3d+(d-5c)}{4c}= \\ =\frac{5c-2d-3d+d-5c}{4c}=\frac{-4d}{4c}=-\frac{d}{c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2a}{b}-\frac{1-6a}{b}+\frac{13-8a}{b}= \\ =\frac{2a-(1-6a)+(13-8a)}{b}= \\ =\frac{2a-1+6a+13-8a}{b}=\frac{12}{b} \end{gathered}$$

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковым знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{17-12x}{x} - \frac{10-x}{x} = \frac{(17-12x) - (10-x)}{x}$

Раскроем скобки в числителе. Знак "минус" перед второй дробью меняет знаки каждого слагаемого в ее числителе на противоположные:

$\frac{17-12x - 10 + x}{x}$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$(17 - 10) + (-12x + x) = 7 - 11x$

Результат:

$\frac{7-11x}{x}$

Ответ: $\frac{7-11x}{x}$

б)

Дроби имеют одинаковый знаменатель $3p^2$, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{12p-1}{3p^2} - \frac{1-3p}{3p^2} = \frac{(12p-1) - (1-3p)}{3p^2}$

Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки во втором выражении:

$\frac{12p-1 - 1 + 3p}{3p^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$(12p + 3p) + (-1 - 1) = 15p - 2$

Результат:

$\frac{15p-2}{3p^2}$

Ответ: $\frac{15p-2}{3p^2}$

в)

Знаменатели дробей одинаковы ($5y$), поэтому выполняем вычитание числителей:

$\frac{6y-3}{5y} - \frac{y+2}{5y} = \frac{(6y-3) - (y+2)}{5y}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{6y-3-y-2}{5y}$

Приводим подобные слагаемые:

$(6y-y) + (-3-2) = 5y-5$

Получаем дробь $\frac{5y-5}{5y}$. Можно вынести общий множитель 5 в числителе и сократить дробь:

$\frac{5(y-1)}{5y} = \frac{y-1}{y}$

Ответ: $\frac{y-1}{y}$

г)

Все три дроби имеют общий знаменатель $5p$. Выполним действия с числителями:

$\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p} = \frac{(3p-q) - (2p+6q) + (p-4q)}{5p}$

Раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед второй дробью:

$\frac{3p-q - 2p - 6q + p - 4q}{5p}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3p - 2p + p) + (-q - 6q - 4q) = 2p - 11q$

Результат:

$\frac{2p-11q}{5p}$

Ответ: $\frac{2p-11q}{5p}$

д)

Знаменатель у всех дробей одинаковый ($4c$). Объединим числители:

$\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c} = \frac{(5c-2d) - 3d + (d-5c)}{4c}$

Раскроем скобки и уберем их:

$\frac{5c - 2d - 3d + d - 5c}{4c}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(5c - 5c) + (-2d - 3d + d) = 0 + (-4d) = -4d$

Получаем дробь $\frac{-4d}{4c}$. Сократим ее на 4:

$-\frac{4d}{4c} = -\frac{d}{c}$

Ответ: $-\frac{d}{c}$

е)

Дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполним действия с числителями:

$\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b} = \frac{2a - (1-6a) + (13-8a)}{b}$

Раскроем скобки:

$\frac{2a - 1 + 6a + 13 - 8a}{b}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a + 6a - 8a) + (-1 + 13) = 0a + 12 = 12$

Результат:

$\frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$

59. Выполните действие:

a) 16x - 4 - x²x - 4;

б) 25a + 5 - a²a + 5;

в) 3a - 1a² - b² - 3b - 1a² - b²;

г) x - 3x² - 64 + 11x² - 64;

д) 2a + b(a - b)² - 2b - 5a(a - b)²;

е) 13x + 6y(x + y)² - 11x + 4y(x + y)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}= \\ =\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}=-(x+4)=-x-4 \end{gathered}$$

б) $\frac{25}{a+5}-\frac{a^2}{a+5}=\frac{25-a^2}{a+5}=\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}=5-a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3a-1}{a^2-b^2}-\frac{3b-1}{a^2-b^2}=\frac{(3a-1)-(3b-1)}{a^2-b^2}= \\ =\frac{3a-1-3b+1}{(a-b)(a+b)}=\frac{3a-3b}{(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{3}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-3}{x^2-64}+\frac{11}{x^2-64}=\frac{x-3+11}{x^2-64}= \\ =\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}=\frac{1}{x-8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2a+b}{{(a-b)}^2}-\frac{2b-5a}{{(a-b)}^2}=\frac{(2a+b)-(2b-5a)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{2a+b-2b+5a}{{(a-b)}^2}=\frac{7a-b}{{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{13x+6y}{{(x+y)}^2}-\frac{11x+4y}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{(13x+6y)-(11x+4y)}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{13x+6y-11x-4y}{{(x+y)}^2}=\frac{2y+2x}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{2(x+y)}{{(x+y)}^2}=\frac{2}{x+y} \end{gathered}$$

а)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4} = \frac{16 - x^2}{x-4}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4-x)(4+x)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}$

Заметим, что $(4-x) = -(x-4)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4)$:

$-(x+4) = -x - 4$

Ответ: $-x - 4$.

б)

Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5} = \frac{25-a^2}{a+5}$

Числитель является разностью квадратов $25 - a^2 = 5^2 - a^2$. Разложим его на множители:

$(5-a)(5+a)$

Получим выражение:

$\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}$

Так как $5+a = a+5$, сокращаем дробь на $(a+5)$:

$5-a$

Ответ: $5-a$.

в)

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2} = \frac{(3a-1) - (3b-1)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе. Обращаем внимание на знак минус перед второй скобкой:

$\frac{3a-1-3b+1}{a^2-b^2} = \frac{3a-3b}{a^2-b^2}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(a-b)}{a^2-b^2}$

Знаменатель $a^2-b^2$ разложим на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{3}{a+b}$

Ответ: $\frac{3}{a+b}$.

г)

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем их числители:

$\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64} = \frac{(x-3)+11}{x^2-64} = \frac{x+8}{x^2-64}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2 - 64 = x^2 - 8^2$:

$\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+8)$:

$\frac{1}{x-8}$

Ответ: $\frac{1}{x-8}$.

д)

Знаменатели дробей одинаковы. Выполняем вычитание числителей:

$\frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2} = \frac{(2a+b) - (2b-5a)}{(a-b)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2a+b - 2b + 5a}{(a-b)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a+5a) + (b-2b)}{(a-b)^2} = \frac{7a-b}{(a-b)^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{7a-b}{(a-b)^2}$.

е)

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2} = \frac{(13x+6y) - (11x+4y)}{(x+y)^2}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{13x+6y - 11x - 4y}{(x+y)^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{(13x-11x) + (6y-4y)}{(x+y)^2} = \frac{2x+2y}{(x+y)^2}$

Выносим общий множитель 2 в числителе за скобки:

$\frac{2(x+y)}{(x+y)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$:

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$.

60. Докажите, что:

а) выражение (a + b)²ab - (a - b)²ab тождественно равно 4;

б) выражение (a + b)²a² + b² + (a - b)²a² + b² тождественно равно 2.

a) $\frac{{(a+b)}^2}{ab}-\frac{{(a-b)}^2}{ab}=\frac{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}{ab}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(a^2+2ab+b^2)-(a^2-ab+b^2}{ab}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4 \end{gathered}$$

б) $\frac{{(a+b)}^2}{a^2+b^2}+\frac{{(a-b)}^2}{a^2+b^2}=\frac{{(a+b)}^2+{(a-b)}^2}{a^2+b^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2}= \\ =\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=2 \end{gathered}$$

а) Требуется доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} $ тождественно равно 4.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель $ab$, мы можем вычесть их числители:

$ \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Подставим эти выражения в числитель:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{ab} $

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$ \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab} $

Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, что необходимо для существования исходного выражения):

$ \frac{4ab}{ab} = 4 $

Таким образом, мы показали, что исходное выражение действительно равно 4. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б) Требуется доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} $ тождественно равно 2.

Преобразуем левую часть. Дроби имеют общий знаменатель $a^2+b^2$, поэтому мы можем сложить их числители:

$ \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} $

Сложим многочлены в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+a^2) + (2ab-2ab) + (b^2+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} $

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} $

Сократим дробь на выражение $(a^2+b^2)$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, иначе знаменатель обращается в нуль):

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2 $

Мы показали, что исходное выражение действительно равно 2. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

61. Найдите значение выражения:

a) a² - 43a - 6 + 7a - 6 при a = 10,25;

б) 9b - 1b² - 9 - 6b - 10b² - 9 при b = 3,5.

a) $$\begin{gathered} \frac{a^2-43}{a-6}+\frac{7}{a-6}=\frac{a^2-43+7}{a-6}=\frac{a^2-36}{a-6}= \\ =\frac{(a-6)(a+6)}{a-6}=a+6 \end{gathered}$$

при a=10,25; 10,25+6=16,25

б) $\frac{9b-1}{b^2-9}-\frac{6b-10}{b^2-9}=\frac{(9b-1)-(6b-10)}{b^2-9}=$

$$\begin{gathered} =\frac{9b-1-6b+10}{(b-3)(b+3)}=\frac{3b+9}{(b-3)(b+3)}= \\ =\frac{3(b+3)}{(b-3)(b+3)}=\frac{3}{b-3} \end{gathered}$$

при b=3,5; $\frac{3}{3,5-3}=\frac{3}{0,5}=\frac{30}{5}=6$

а)

Сначала упростим данное выражение $\frac{a^2-43}{a-6} + \frac{7}{a-6}$. Так как у обеих дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{a^2-43+7}{a-6} = \frac{a^2-36}{a-6}$

Числитель $a^2-36$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$a^2-36 = a^2-6^2 = (a-6)(a+6)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в выражение:

$\frac{(a-6)(a+6)}{a-6}$

Сократим общий множитель $(a-6)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a=10,25$, и, следовательно, $a-6 \neq 0$):

$a+6$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $a=10,25$:

$10,25 + 6 = 16,25$

Ответ: $16,25$

б)

Упростим выражение $\frac{9b-1}{b^2-9} - \frac{6b-10}{b^2-9}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(9b-1)-(6b-10)}{b^2-9} = \frac{9b-1-6b+10}{b^2-9} = \frac{3b+9}{b^2-9}$

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 3 за скобку. Знаменатель является разностью квадратов:

$3b+9 = 3(b+3)$

$b^2-9 = b^2-3^2 = (b-3)(b+3)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3(b+3)}{(b-3)(b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$ (это возможно, так как $b=3,5$, и, следовательно, $b+3 \neq 0$ и $b-3 \neq 0$):

$\frac{3}{b-3}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $b=3,5$:

$\frac{3}{3,5-3} = \frac{3}{0,5} = 6$

Ответ: $6$

62. Найдите значение выражения a² - 12ba² - 3ab - 3ab - 4aa² - 3ab при a = –0,8, b = –1,75. Нет ли в задаче лишних данных?

$$\begin{gathered} \frac{a^2-12b}{a^2-3ab}-\frac{3ab-4a}{a^2-3ab}=\frac{(a^2-12b)-(3ab-4a)}{a(a-3b)}= \\ =\frac{a^2-12b-3ab+4a}{a(a-3b)}=\frac{(a^2+4a)-(12b+3ab)}{a(a-3b)}= \\ =\frac{a(a+4)-3b(4+a)}{a(a-3b)}=\frac{(a-3b)(a+4)}{a(a-3b)}=\frac{a+4}{a} \end{gathered}$$

при a=-0,8

$\frac{-0,8+4}{-0,8}=\frac{3,2}{-0,8}=-\frac{32}{8}=-4$

В задаче есть лишние данные b=-1,75

Найдите значение выражения

Для решения задачи сначала упростим исходное выражение: $ \frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab} $.

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(a^2 - 12b) - (3ab - 4a)}{a^2 - 3ab} = \frac{a^2 - 12b - 3ab + 4a}{a^2 - 3ab} $

Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ a^2 + 4a - 3ab - 12b = (a^2 + 4a) - (3ab + 12b) = a(a + 4) - 3b(a + 4) = (a + 4)(a - 3b) $

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ a^2 - 3ab = a(a - 3b) $

Теперь подставим разложенные части обратно в дробь:

$ \frac{(a + 4)(a - 3b)}{a(a - 3b)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a - 3b)$. Это возможно, если знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$ и $a - 3b \neq 0$. Проверим эти условия с заданными значениями $a = -0,8$ и $b = -1,75$:

$ a = -0,8 \neq 0 $
$ a - 3b = -0,8 - 3(-1,75) = -0,8 + 5,25 = 4,45 \neq 0 $

Поскольку условия выполняются, мы можем выполнить сокращение. Выражение упрощается до:

$ \frac{a + 4}{a} $

Теперь подставим значение $a = -0,8$ в итоговое выражение:

$ \frac{-0,8 + 4}{-0,8} = \frac{3,2}{-0,8} = -4 $

Ответ: -4.

Нет ли в задаче лишних данных?

Да, в задаче есть лишние данные. Как видно из процесса упрощения, итоговое выражение $\frac{a+4}{a}$ зависит только от переменной $a$. Значение переменной $b$ не требуется для вычисления конечного значения выражения (оно было использовано лишь для проверки корректности сокращения дроби, что является частью нахождения области допустимых значений). Таким образом, значение $b = -1,75$ является лишним данным для нахождения ответа.

Ответ: да, значение переменной $b$ является лишним данным.

63. Выполните действие:

a) xy - 1 + 51 - y;

б) ac - 3 - 73 - c;

в) 2mm - n + 2nn - m;

г) 5p2q - p + 10qp - 2q;

д) a² + 16a - 4 + 8a4 - a;

е) x² + 9y²x - 3y + 6xy3y - x.

a) $\frac{x}{y-1}+\frac{5}{1-y}=\frac{x}{y-1}-\frac{5}{y-1}=\frac{x-5}{y-1}$

б) $\frac{a}{c-3}-\frac{6}{3-c}=\frac{a}{c-3}+\frac{6}{c-3}=\frac{a+6}{c-3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2m}{m-n}+\frac{2n}{n-m}=\frac{2m}{m-n}-\frac{2n}{m-n}= \\ =\frac{2m-2n}{m-n}=\frac{2(m-n)}{m-n}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{5p}{2q-p}+\frac{10q}{p-2q}=\frac{5p}{2q-p}-\frac{10q}{2q-p}= \\ =\frac{5p-10q}{2q-p}=\frac{5(p-2q)}{-(p-2q)}=-5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a^2+16}{a-4}+\frac{8a}{4-a}=\frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}= \\ =\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\frac{{(a-4)}^2}{a-4}=a-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{x^2+9y^2}{x-3y}+\frac{6xy}{3y-x}=\frac{x^2+9y^2}{x-3y}-\frac{6xy}{x-3y}= \\ =\frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y}=\frac{{(x-3y)}^2}{x-3y}=x-3y \end{gathered}$$

а) $\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}$

Чтобы выполнить сложение, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели $y-1$ и $1-y$ являются противоположными выражениями, так как $1-y = -(y-1)$. Преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:

$\frac{x}{y-1} + \frac{5}{-(y-1)} = \frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1}$

Теперь, когда у дробей общий знаменатель, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-5}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-5}{y-1}$

б) $\frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $3-c$ можно представить как $-(c-3)$.

$\frac{a}{c-3} - \frac{6}{-(c-3)} = \frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3}$

Сложим числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a+6}{c-3}$

Ответ: $\frac{a+6}{c-3}$

в) $\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m}$

Приведем дроби к общему знаменателю $m-n$, используя то, что $n-m = -(m-n)$.

$\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{-(m-n)} = \frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2m-2n}{m-n}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(m-n)}{m-n} = 2$

Ответ: $2$

г) $\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2q-p$, используя то, что $p-2q = -(2q-p)$.

$\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{-(2q-p)} = \frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p}$

Выполним вычитание:

$\frac{5p-10q}{2q-p}$

В числителе вынесем за скобки множитель $-5$, чтобы получить выражение, которое можно сократить со знаменателем:

$5p-10q = -5(-p+2q) = -5(2q-p)$

Подставим обратно в дробь и сократим:

$\frac{-5(2q-p)}{2q-p} = -5$

Ответ: $-5$

д) $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a-4$, используя то, что $4-a = -(a-4)$.

$\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{-(a-4)} = \frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{a^2+16-8a}{a-4} = \frac{a^2-8a+16}{a-4}$

Числитель является полным квадратом разности $(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2-8a+16$.

$\frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4$

Ответ: $a-4$

е) $\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{3y-x}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x-3y$, используя то, что $3y-x = -(x-3y)$.

$\frac{x^2+9y^2}{x-3y} + \frac{6xy}{-(x-3y)} = \frac{x^2+9y^2}{x-3y} - \frac{6xy}{x-3y}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x^2+9y^2-6xy}{x-3y} = \frac{x^2-6xy+9y^2}{x-3y}$

Числитель является полным квадратом разности $(x-3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2-6xy+9y^2$.

$\frac{(x-3y)^2}{x-3y} = x-3y$

Ответ: $x-3y$