Номер 58, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 58, страница 21.

58. Представьте выражение в виде дроби:

a) 17 - 12xx - 10 - xx;

б) 12p - 13p² - 1 - 3p3p²;

в) 6y - 35y - y + 25y;

г) 3p - q5p - 2p + 6q5p + p - 4q5p;

д) 5c - 2d4c - 3d4c + d - 5c4c;

е) 2ab - 1 - 6ab + 13 - 8ab.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{17-12x}{x}-\frac{10-x}{x}=\frac{(17-12x)-(10-x)}{x}= \\ =\frac{17-12x-10+x}{x}=\frac{7-11x}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{12p-1}{3p^2}-\frac{1-3p}{3p^2}=\frac{(12p-1)-(1-3p)}{3p^2}= \\ =\frac{12p-1-1+3p}{3p^2}=\frac{15p-2}{3p^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{6y-3}{5y}-\frac{y+2}{5y}=\frac{(6y-3)-(y+2)}{5y}= \\ =\frac{6y-3-y-2}{5y}=\frac{5y-5}{5y}=\frac{5(y-1)}{5y}=\frac{y-1}{y} \end{gathered}$$

г) $\frac{3p-q}{5p}-\frac{2p+6q}{5p}+\frac{p-4q}{5p}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(3p-q)-(2p+6q)+(p-4q)}{5p}= \\ =\frac{3p-q-2p-6q+p-4q}{5p}=\frac{2p-11q}{5p} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{5c-2d}{4c}-\frac{3d}{4c}+\frac{d-5c}{4c}= \\ =\frac{(5c-2d)-3d+(d-5c)}{4c}= \\ =\frac{5c-2d-3d+d-5c}{4c}=\frac{-4d}{4c}=-\frac{d}{c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2a}{b}-\frac{1-6a}{b}+\frac{13-8a}{b}= \\ =\frac{2a-(1-6a)+(13-8a)}{b}= \\ =\frac{2a-1+6a+13-8a}{b}=\frac{12}{b} \end{gathered}$$

а)

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковым знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{17-12x}{x} - \frac{10-x}{x} = \frac{(17-12x) - (10-x)}{x}$

Раскроем скобки в числителе. Знак "минус" перед второй дробью меняет знаки каждого слагаемого в ее числителе на противоположные:

$\frac{17-12x - 10 + x}{x}$

Теперь приведем подобные слагаемые в числителе:

$(17 - 10) + (-12x + x) = 7 - 11x$

Результат:

$\frac{7-11x}{x}$

Ответ: $\frac{7-11x}{x}$

б)

Дроби имеют одинаковый знаменатель $3p^2$, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{12p-1}{3p^2} - \frac{1-3p}{3p^2} = \frac{(12p-1) - (1-3p)}{3p^2}$

Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки во втором выражении:

$\frac{12p-1 - 1 + 3p}{3p^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$(12p + 3p) + (-1 - 1) = 15p - 2$

Результат:

$\frac{15p-2}{3p^2}$

Ответ: $\frac{15p-2}{3p^2}$

в)

Знаменатели дробей одинаковы ($5y$), поэтому выполняем вычитание числителей:

$\frac{6y-3}{5y} - \frac{y+2}{5y} = \frac{(6y-3) - (y+2)}{5y}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{6y-3-y-2}{5y}$

Приводим подобные слагаемые:

$(6y-y) + (-3-2) = 5y-5$

Получаем дробь $\frac{5y-5}{5y}$. Можно вынести общий множитель 5 в числителе и сократить дробь:

$\frac{5(y-1)}{5y} = \frac{y-1}{y}$

Ответ: $\frac{y-1}{y}$

г)

Все три дроби имеют общий знаменатель $5p$. Выполним действия с числителями:

$\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p} = \frac{(3p-q) - (2p+6q) + (p-4q)}{5p}$

Раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед второй дробью:

$\frac{3p-q - 2p - 6q + p - 4q}{5p}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3p - 2p + p) + (-q - 6q - 4q) = 2p - 11q$

Результат:

$\frac{2p-11q}{5p}$

Ответ: $\frac{2p-11q}{5p}$

д)

Знаменатель у всех дробей одинаковый ($4c$). Объединим числители:

$\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c} = \frac{(5c-2d) - 3d + (d-5c)}{4c}$

Раскроем скобки и уберем их:

$\frac{5c - 2d - 3d + d - 5c}{4c}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(5c - 5c) + (-2d - 3d + d) = 0 + (-4d) = -4d$

Получаем дробь $\frac{-4d}{4c}$. Сократим ее на 4:

$-\frac{4d}{4c} = -\frac{d}{c}$

Ответ: $-\frac{d}{c}$

е)

Дроби имеют общий знаменатель $b$. Выполним действия с числителями:

$\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b} = \frac{2a - (1-6a) + (13-8a)}{b}$

Раскроем скобки:

$\frac{2a - 1 + 6a + 13 - 8a}{b}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a + 6a - 8a) + (-1 + 13) = 0a + 12 = 12$

Результат:

$\frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$