Номер 60, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 60, страница 21.

60. Докажите, что:

а) выражение (a + b)²ab - (a - b)²ab тождественно равно 4;

б) выражение (a + b)²a² + b² + (a - b)²a² + b² тождественно равно 2.

a) $\frac{{(a+b)}^2}{ab}-\frac{{(a-b)}^2}{ab}=\frac{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}{ab}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(a^2+2ab+b^2)-(a^2-ab+b^2}{ab}= \\ =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4 \end{gathered}$$

б) $\frac{{(a+b)}^2}{a^2+b^2}+\frac{{(a-b)}^2}{a^2+b^2}=\frac{{(a+b)}^2+{(a-b)}^2}{a^2+b^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2}= \\ =\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=2 \end{gathered}$$

а) Требуется доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} $ тождественно равно 4.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель $ab$, мы можем вычесть их числители:

$ \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} $

Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Подставим эти выражения в числитель:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{ab} $

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$ \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{ab} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab} $

Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$, что необходимо для существования исходного выражения):

$ \frac{4ab}{ab} = 4 $

Таким образом, мы показали, что исходное выражение действительно равно 4. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

б) Требуется доказать, что выражение $ \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} $ тождественно равно 2.

Преобразуем левую часть. Дроби имеют общий знаменатель $a^2+b^2$, поэтому мы можем сложить их числители:

$ \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2} $

Раскроем скобки в числителе, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2)}{a^2+b^2} $

Сложим многочлены в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2} = \frac{(a^2+a^2) + (2ab-2ab) + (b^2+b^2)}{a^2+b^2} = \frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} $

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} $

Сократим дробь на выражение $(a^2+b^2)$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, иначе знаменатель обращается в нуль):

$ \frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = 2 $

Мы показали, что исходное выражение действительно равно 2. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.