Номер 64, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 64, страница 22.

64. Выполните действие:

a) 10pp - q + 3pq - p;

б) 5aa - b + 5bb - a;

в) x - 3x - 1 - 21 - x;

г) a2a - b + 3a - bb - 2a;

д) aa² - 9 + 39 - a²;

е) y²y - 1 + 11 - y.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{10p}{p-q}+\frac{3p}{q-p}=\frac{10p}{p-q}-\frac{3p}{p-q}= \\ =\frac{10p-3p}{p-q}=\frac{7p}{p-q} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5a}{a-b}+\frac{5b}{b-a}=\frac{5a}{a-b}-\frac{5b}{a-b}= \\ =\frac{5a-5b}{a-b}=\frac{5(a-b)}{a-b}=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{x-3}{x-1}-\frac{2}{1-x}=\frac{x-3}{x-1}+\frac{2}{x-1}= \\ =\frac{x-3+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a}{2a-b}+\frac{3a-b}{b-2a}=\frac{a}{2a-b}-\frac{3a-b}{2a-b}= \\ =\frac{a-(3a-b)}{2a-b}=\frac{a-3a+b}{2a-b}=\frac{-2a+b}{2a-b}= \\ =\frac{-(2a-b)}{2a-b}=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{a}{a^2-9}+\frac{3}{9-a^2}=\frac{a}{a^2-9}-\frac{3}{a^2-9}= \\ =\frac{a-3}{a^2-9}=\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a+3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{y^2}{y-1}+\frac{1}{1-y}=\frac{y^2}{y-1}-\frac{1}{y-1}=\frac{y^2-1}{y-1}= \\ =\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}=y+1 \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{10p}{p-q}$ и $\frac{3p}{q-p}$, нужно привести их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели являются противоположными выражениями: $q-p = -(p-q)$. Используем это свойство для преобразования второй дроби:
$\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p} = \frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{-(p-q)} = \frac{10p}{p-q} - \frac{3p}{p-q}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно вычесть числители:
$\frac{10p - 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}$
Ответ: $\frac{7p}{p-q}$.

б) В выражении $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$ знаменатели также являются противоположными: $b-a = -(a-b)$. Приведем дроби к общему знаменателю $a-b$:
$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{5a-5b}{a-b}$
Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5(a-b)}{a-b}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$:
$5$
Ответ: $5$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{1-x}$. Знаменатель второй дроби $1-x$ можно записать как $-(x-1)$.
$\frac{x-3}{x-1} - \frac{2}{-(x-1)} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}$
Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(x-3)+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1}$
Сократив дробь, получаем:
$1$
Ответ: $1$.

г) В выражении $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$ знаменатели $2a-b$ и $b-2a$ являются противоположными. Преобразуем вторую дробь:
$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$
Выполним вычитание, объединяя числители под общим знаменателем:
$\frac{a-(3a-b)}{2a-b} = \frac{a-3a+b}{2a-b} = \frac{-2a+b}{2a-b}$
Вынесем -1 за скобки в числителе:
$\frac{-(2a-b)}{2a-b}$
Сократим дробь:
$-1$
Ответ: $-1$.

д) В выражении $\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9-a^2}$ знаменатели $a^2-9$ и $9-a^2$ также противоположны: $9-a^2 = -(a^2-9)$.
$\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{a^2-9}$
Выполним вычитание:
$\frac{a-3}{a^2-9}$
Знаменатель $a^2-9$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
$\frac{a-3}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на $(a-3)$:
$\frac{1}{a+3}$
Ответ: $\frac{1}{a+3}$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$. Знаменатель второй дроби $1-y$ равен $-(y-1)$.
$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{y^2-1}{y-1}$
Числитель $y^2-1$ — это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.
$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}$
Сократим дробь на $(y-1)$:
$y+1$
Ответ: $y+1$.