Номер 68, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 68, страница 22.

68. Пользуясь тождеством a + bc = ac + bc представьте дробь в виде суммы дробей:

a) a + bx;

б) 2a² + ay;

в) x² + 6y²2xy;

г) 12a + y²6ay.

a) $\frac{a+b}{x}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x}$

б) $\frac{2a^2+a}{y}=\frac{2a^2}{y}+\frac{a}{y}$

в) $\frac{x^2+6y^2}{2xy}=\frac{x^2}{2xy}+\frac{6y^2}{2xy}=\frac{x}{2y}+\frac{6y}{2x}=\frac{x}{2y}+\frac{3y}{x}$

г) $\frac{12a+y^2}{6ay}=\frac{12a}{6ay}+\frac{y^2}{6ay}=\frac{2}{y}+\frac{y}{6a}$

а) Чтобы представить дробь $\frac{a+b}{x}$ в виде суммы, воспользуемся тождеством $\frac{A+B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C}$. В данном случае слагаемые в числителе — это $a$ и $b$, а знаменатель — $x$. Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель:

$\frac{a+b}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x}$

Ответ: $\frac{a}{x} + \frac{b}{x}$

б) Аналогично, для дроби $\frac{2a^2+a}{y}$ слагаемые в числителе — это $2a^2$ и $a$, а знаменатель — $y$. Применим тождество:

$\frac{2a^2+a}{y} = \frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$

Ответ: $\frac{2a^2}{y} + \frac{a}{y}$

в) Для дроби $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ разделим каждое слагаемое числителя ($x^2$ и $6y^2$) на общий знаменатель $2xy$:

$\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$

Теперь упростим (сократим) каждую из полученных дробей:

Первая дробь: $\frac{x^2}{2xy} = \frac{x \cdot x}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{x}{2y}$

Вторая дробь: $\frac{6y^2}{2xy} = \frac{2 \cdot 3 \cdot y \cdot y}{2 \cdot x \cdot y} = \frac{3y}{x}$

Сложив упрощенные дроби, получаем конечный результат.

Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$

г) Для дроби $\frac{12a+y^2}{6ay}$ разделим каждое слагаемое числителя ($12a$ и $y^2$) на знаменатель $6ay$:

$\frac{12a+y^2}{6ay} = \frac{12a}{6ay} + \frac{y^2}{6ay}$

Упростим каждую дробь путем сокращения общих множителей:

Первая дробь: $\frac{12a}{6ay} = \frac{6a \cdot 2}{6a \cdot y} = \frac{2}{y}$

Вторая дробь: $\frac{y^2}{6ay} = \frac{y \cdot y}{6a \cdot y} = \frac{y}{6a}$

Следовательно, искомая сумма имеет вид:

Ответ: $\frac{2}{y} + \frac{y}{6a}$