Номер 65, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 65, страница 22.

65. Докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения не зависит от x:

a) 3x + 52x - 1 + 7x + 31 - 2x

б) 5x + 15x - 20 + x + 1720 - 5x

a) $\frac{3x+5}{2x-1}+\frac{7x+3}{1-2x}=\frac{3x+5}{2x-1}-\frac{7x+3}{2x-1}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1}=\frac{3x+5-7x-3}{2x-1}= \\ =\frac{2-4x}{2x-1}=\frac{2(1-2x)}{-(1-2x)}=-2 \end{gathered}$$

б) $\frac{5x+1}{5x-20}+\frac{x+17}{20-5x}=\frac{5x+1}{5x-20}-\frac{x+17}{5x-20}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(5x+1)-(x+17)}{5x-20}=\frac{5x+1-x-17}{5(x-4)}= \\ =\frac{4x-16}{5(x-4)}=\frac{4(x-4)}{5(x-4)}=\frac{4}{5}=0,8 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{3x + 5}{2x - 1} + \frac{7x + 3}{1 - 2x}$ не зависит от $x$, необходимо его упростить.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $2x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \frac{1}{2}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $2x-1$ и $1-2x$ являются противоположными выражениями: $1 - 2x = -(2x - 1)$. Используем это свойство для преобразования второй дроби:

$\frac{7x + 3}{1 - 2x} = \frac{7x + 3}{-(2x - 1)} = -\frac{7x + 3}{2x - 1}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{3x + 5}{2x - 1} - \frac{7x + 3}{2x - 1}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить вычитание их числителей:

$\frac{(3x + 5) - (7x + 3)}{2x - 1} = \frac{3x + 5 - 7x - 3}{2x - 1} = \frac{-4x + 2}{2x - 1}$

В числителе вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2x - 1)}{2x - 1}$

Так как согласно ОДЗ $x \neq \frac{1}{2}$, то выражение $2x - 1$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на $(2x - 1)$:

$\frac{-2\cancel{(2x - 1)}}{\cancel{(2x - 1)}} = -2$

Полученное значение равно $-2$. Это константа, которая не зависит от переменной $x$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: -2.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x}$ не зависит от $x$, необходимо его упростить.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $5x - 20 \neq 0$, что означает $5x \neq 20$, или $x \neq 4$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $5x - 20$ и $20 - 5x$ являются противоположными выражениями: $20 - 5x = -(5x - 20)$. Используем это свойство:

$\frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{20 - 5x} = \frac{5x + 1}{5x - 20} + \frac{x + 17}{-(5x - 20)} = \frac{5x + 1}{5x - 20} - \frac{x + 17}{5x - 20}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем вычесть их числители:

$\frac{(5x + 1) - (x + 17)}{5x - 20} = \frac{5x + 1 - x - 17}{5x - 20} = \frac{4x - 16}{5x - 20}$

Вынесем в числителе и знаменателе общие множители за скобки:

$\frac{4(x - 4)}{5(x - 4)}$

Так как согласно ОДЗ $x \neq 4$, то выражение $x - 4$ не равно нулю, и мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$\frac{4\cancel{(x - 4)}}{5\cancel{(x - 4)}} = \frac{4}{5}$

Полученное значение равно $\frac{4}{5}$. Это константа, которая не зависит от переменной $x$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $\frac{4}{5}$.