Номер 59, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 59, страница 21.

59. Выполните действие:

a) 16x - 4 - x²x - 4;

б) 25a + 5 - a²a + 5;

в) 3a - 1a² - b² - 3b - 1a² - b²;

г) x - 3x² - 64 + 11x² - 64;

д) 2a + b(a - b)² - 2b - 5a(a - b)²;

е) 13x + 6y(x + y)² - 11x + 4y(x + y)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}= \\ =\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}=-(x+4)=-x-4 \end{gathered}$$

б) $\frac{25}{a+5}-\frac{a^2}{a+5}=\frac{25-a^2}{a+5}=\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}=5-a$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3a-1}{a^2-b^2}-\frac{3b-1}{a^2-b^2}=\frac{(3a-1)-(3b-1)}{a^2-b^2}= \\ =\frac{3a-1-3b+1}{(a-b)(a+b)}=\frac{3a-3b}{(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{3}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-3}{x^2-64}+\frac{11}{x^2-64}=\frac{x-3+11}{x^2-64}= \\ =\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}=\frac{1}{x-8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2a+b}{{(a-b)}^2}-\frac{2b-5a}{{(a-b)}^2}=\frac{(2a+b)-(2b-5a)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{2a+b-2b+5a}{{(a-b)}^2}=\frac{7a-b}{{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{13x+6y}{{(x+y)}^2}-\frac{11x+4y}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{(13x+6y)-(11x+4y)}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{13x+6y-11x-4y}{{(x+y)}^2}=\frac{2y+2x}{{(x+y)}^2}= \\ =\frac{2(x+y)}{{(x+y)}^2}=\frac{2}{x+y} \end{gathered}$$

а)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{16}{x-4} - \frac{x^2}{x-4} = \frac{16 - x^2}{x-4}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4-x)(4+x)$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}$

Заметим, что $(4-x) = -(x-4)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-4)$:

$-(x+4) = -x - 4$

Ответ: $-x - 4$.

б)

Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{25}{a+5} - \frac{a^2}{a+5} = \frac{25-a^2}{a+5}$

Числитель является разностью квадратов $25 - a^2 = 5^2 - a^2$. Разложим его на множители:

$(5-a)(5+a)$

Получим выражение:

$\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}$

Так как $5+a = a+5$, сокращаем дробь на $(a+5)$:

$5-a$

Ответ: $5-a$.

в)

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{3a-1}{a^2-b^2} - \frac{3b-1}{a^2-b^2} = \frac{(3a-1) - (3b-1)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе. Обращаем внимание на знак минус перед второй скобкой:

$\frac{3a-1-3b+1}{a^2-b^2} = \frac{3a-3b}{a^2-b^2}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(a-b)}{a^2-b^2}$

Знаменатель $a^2-b^2$ разложим на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a-b)$:

$\frac{3}{a+b}$

Ответ: $\frac{3}{a+b}$.

г)

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому складываем их числители:

$\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64} = \frac{(x-3)+11}{x^2-64} = \frac{x+8}{x^2-64}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2 - 64 = x^2 - 8^2$:

$\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+8)$:

$\frac{1}{x-8}$

Ответ: $\frac{1}{x-8}$.

д)

Знаменатели дробей одинаковы. Выполняем вычитание числителей:

$\frac{2a+b}{(a-b)^2} - \frac{2b-5a}{(a-b)^2} = \frac{(2a+b) - (2b-5a)}{(a-b)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2a+b - 2b + 5a}{(a-b)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a+5a) + (b-2b)}{(a-b)^2} = \frac{7a-b}{(a-b)^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{7a-b}{(a-b)^2}$.

е)

Так как знаменатели дробей одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{13x+6y}{(x+y)^2} - \frac{11x+4y}{(x+y)^2} = \frac{(13x+6y) - (11x+4y)}{(x+y)^2}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{13x+6y - 11x - 4y}{(x+y)^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{(13x-11x) + (6y-4y)}{(x+y)^2} = \frac{2x+2y}{(x+y)^2}$

Выносим общий множитель 2 в числителе за скобки:

$\frac{2(x+y)}{(x+y)^2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x+y)$:

$\frac{2}{x+y}$

Ответ: $\frac{2}{x+y}$.