Номер 57, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 57, страница 21.

57. Представьте выражение в виде дроби:

a) 2x - 3y4xy + 11y - 2x4xy;

б) 5a + b⁵8b - 5a - 7b⁵8b;

в) a - 2 8a + 2a+58a - 3 - a8a;

г) 11a - 2b4a + 2a - 3b4a - a - b4a.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2x-3y}{4xy}+\frac{11y-2x}{4xy}=\frac{2x-3y+11y-2x}{4xy}= \\ =\frac{8y}{4xy}=\frac{2}{x}; \end{gathered}$$

б) $\frac{5a+b^5}{8b}-\frac{5a-7b^5}{8b}=\frac{(5a+b^5)-(5a-7b^5)}{8b}=$
$=\frac{5a+b^5-5a+7b^5}{8b}=\frac{8b^5}{8b}=b^4;$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a-2}{8a}+\frac{2a+5}{8a}-\frac{3-a}{8a}= \\ =\frac{(a-2)+(2a+5)-(3-a)}{8a}= \\ =\frac{a-2+2a+5-3+a}{8a}=\frac{4a}{8a}=\frac{1}{2}=0,5; \end{gathered}$$

г) $\frac{11a-2b}{4a}+\frac{2a-3b}{4a}-\frac{a-b}{4a}=$
$$\begin{gathered} =\frac{(11a-2b)+(2a-3b)-(a-b)}{4a}= \\ =\frac{12a-4b}{4a}=\frac{4(3a-b)}{4a}=\frac{3a-b}{a} \end{gathered}$$

а) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель $4xy$, мы можем сложить их числители, оставив знаменатель без изменений: $\frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy} = \frac{(2x - 3y) + (11y - 2x)}{4xy}$. Далее упростим выражение в числителе, приведя подобные слагаемые: $2x - 3y + 11y - 2x = (2x - 2x) + (-3y + 11y) = 0 + 8y = 8y$. В результате получаем дробь $\frac{8y}{4xy}$. Сократим эту дробь на общий множитель $4y$: $\frac{8y}{4xy} = \frac{2}{x}$.
Ответ: $\frac{2}{x}$.

б) Знаменатели дробей одинаковы и равны $8b$. Чтобы выполнить вычитание, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, не забывая про скобки: $\frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b} = \frac{(5a + b^5) - (5a - 7b^5)}{8b}$. Раскроем скобки в числителе, меняя знаки у вычитаемого выражения: $5a + b^5 - 5a + 7b^5 = (5a - 5a) + (b^5 + 7b^5) = 0 + 8b^5 = 8b^5$. Получаем дробь $\frac{8b^5}{8b}$. Сократим дробь на общий множитель $8b$: $\frac{8b^5}{8b} = b^{5-1} = b^4$.
Ответ: $b^4$.

в) Все три дроби имеют общий знаменатель $8a$. Объединим их числители под общим знаменателем: $\frac{a - 2}{8a} + \frac{2a + 5}{8a} - \frac{3 - a}{8a} = \frac{(a - 2) + (2a + 5) - (3 - a)}{8a}$. Раскроем скобки в числителе: $a - 2 + 2a + 5 - 3 + a$. Приведем подобные слагаемые: $(a + 2a + a) + (-2 + 5 - 3) = 4a + 0 = 4a$. Таким образом, получаем дробь $\frac{4a}{8a}$. Сократим ее на $4a$: $\frac{4a}{8a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Знаменатель у всех дробей одинаковый и равен $4a$. Выполним действия с числителями: $\frac{11a - 2b}{4a} + \frac{2a - 3b}{4a} - \frac{a - b}{4a} = \frac{(11a - 2b) + (2a - 3b) - (a - b)}{4a}$. Раскроем скобки в числителе: $11a - 2b + 2a - 3b - a + b$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(11a + 2a - a) + (-2b - 3b + b) = 12a - 4b$. Получаем дробь $\frac{12a - 4b}{4a}$. Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки: $\frac{4(3a - b)}{4a}$. Сократим дробь на 4: $\frac{3a - b}{a}$.
Ответ: $\frac{3a - b}{a}$.