Номер 5, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 5, страница 18.

5. Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

5. если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Правило изменения знака перед дробью является следствием свойств деления чисел и выражений. У любой дроби, например $\frac{a}{b}$, можно выделить три знака: знак перед самой дробью, знак числителя и знак знаменателя.

Значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у двух из этих трех элементов. Нас интересует правило, связанное с изменением знака именно перед дробью.

Чтобы изменить знак перед дробью на противоположный, необходимо изменить на противоположный знак либо числителя, либо знаменателя этой дроби.

Математически это можно записать в виде следующих тождеств:

$ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} $

И наоборот:

$ \frac{a}{b} = - \frac{-a}{b} = - \frac{a}{-b} $

Пример 1 (числовой):

Рассмотрим дробь $-\frac{10}{5}$. Ее значение равно $-2$.

Согласно правилу, мы можем убрать минус перед дробью и поменять знак числителя: $ -\frac{10}{5} = \frac{-10}{5} = -2 $.
Или мы можем убрать минус перед дробью и поменять знак знаменателя: $ -\frac{10}{5} = \frac{10}{-5} = -2 $.
Все три выражения равны.

Пример 2 (алгебраический):

Рассмотрим выражение $\frac{x-2}{3-y}$. Если мы хотим поставить знак "минус" перед этой дробью, нам нужно поменять знак либо у числителя, либо у знаменателя.

Меняем знак числителя: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{-(x-2)}{3-y} = -\frac{-x+2}{3-y} = -\frac{2-x}{3-y} $

Меняем знак знаменателя: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{x-2}{-(3-y)} = -\frac{x-2}{-3+y} = -\frac{x-2}{y-3} $

Таким образом, все эти дроби равны: $ \frac{x-2}{3-y} = -\frac{2-x}{3-y} = -\frac{x-2}{y-3} $

Важно также помнить следствие из этого правила: если одновременно изменить знак и у числителя, и у знаменателя, то знак самой дроби (и ее значение) не изменится.

$ \frac{a}{b} = \frac{-a}{-b} $

Например, $\frac{5}{2} = \frac{-5}{-2} = 2.5$.

Ответ: Чтобы изменить знак перед дробью, нужно изменить на противоположный знак либо ее числителя, либо ее знаменателя, оставив второй компонент без изменений.