Номер 53, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 53, страница 18.

53. Разложите на множители:

а) 5bc – 5c;

б) 10n + 15n²;

в) 8ab + 12bc;

г) 5y – 5x + y² – xy;

д) a² – 9;

е) x² + 10x + 25;

ж) y² – 2y + 1;

з) a³ + 64;

и) b³ – 1.

a) $5bc-5c=5c(b-1)$

б) $10n+15n^2=5n(2+3n)$

в) $8ab+12bc=4b(2a+3c)$

г) $$\begin{gathered} 5y-5x+y^2-xy=(5y-5x)+(y^2-xy)= \\ =5(y-x)+y(y-x)=(y-x)(5+y) \end{gathered}$$

д) $a^2-9=(a-3)(a+3)$

е) $x^2+10x+25={(x+5)}^2$

ж) $y^2-2y+1={(y-1)}^2$

з) $a^3+64=(a+4)(a^2-4a+16)$

и) $b^3-1=(b-1)(b^2+b+1)$

а) Для разложения на множители выражения $5bc - 5c$ необходимо вынести общий множитель за скобки. Общим множителем для обоих членов является $5c$.
$5bc - 5c = 5c \cdot b - 5c \cdot 1 = 5c(b - 1)$.
Ответ: $5c(b - 1)$.

б) В выражении $10n + 15n^2$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 10 и 15, который равен 5, и общую переменную часть с наименьшим показателем, которая равна $n$. Вынесем общий множитель $5n$ за скобки.
$10n + 15n^2 = 5n \cdot 2 + 5n \cdot 3n = 5n(2 + 3n)$.
Ответ: $5n(2 + 3n)$.

в) В выражении $8ab + 12bc$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 8 и 12, который равен 4, и общую переменную, которая равна $b$. Вынесем общий множитель $4b$ за скобки.
$8ab + 12bc = 4b \cdot 2a + 4b \cdot 3c = 4b(2a + 3c)$.
Ответ: $4b(2a + 3c)$.

г) Для разложения на множители выражения $5y - 5x + y^2 - xy$ используем метод группировки. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым слагаемые: $(5y - 5x) + (y^2 - xy)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы: $5(y - x) + y(y - x)$.
Теперь вынесем общий множитель $(y - x)$ за скобки: $(y - x)(5 + y)$.
Ответ: $(y - x)(5 + y)$.

д) Выражение $a^2 - 9$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = a$ и $B = 3$, так как $9 = 3^2$.
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

е) Выражение $x^2 + 10x + 25$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В данном случае $A = x$ и $B = 5$, так как $x^2$ - это квадрат $x$, $25$ - это квадрат $5$, а $10x$ - это удвоенное произведение $x$ и $5$ ($2 \cdot x \cdot 5$).
$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Ответ: $(x + 5)^2$.

ж) Выражение $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом. Применим формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A = y$ и $B = 1$, так как $y^2$ - это квадрат $y$, $1$ - это квадрат $1$, а $-2y$ - это удвоенное произведение $y$ и $1$ со знаком минус ($-2 \cdot y \cdot 1$).
$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

з) Выражение $a^3 + 64$ представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В данном случае $A = a$ и $B = 4$, так как $64 = 4^3$.
$a^3 + 64 = a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - a \cdot 4 + 4^2) = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
Ответ: $(a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.

и) Выражение $b^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = b$ и $B = 1$, так как $1 = 1^3$.
$b^3 - 1 = b^3 - 1^3 = (b - 1)(b^2 + b \cdot 1 + 1^2) = (b - 1)(b^2 + b + 1)$.
Ответ: $(b - 1)(b^2 + b + 1)$.