Номер 47, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 47, страница 17.

47. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от –2 и 2, значение дроби a² - 412 + a² - a⁴ является отрицательным числом?

1) Выберите произвольное значение a, отличное от –2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{a^2-4}{-(a^4-a^2-12)}= \\ =-\frac{a^2-4}{a^4-4a^2+3a^2-12}= \\ =-\frac{a^2-4}{(a^4-4a^2)+(3a^2-12)}= \\ =-\frac{a^2-4}{a^2(a^2-4)+3(a^2-4)}= \\ =-\frac{a^2-4}{(a^2-4)(a^2+3)}-\frac{1}{a^2+3} \end{gathered}$$
$a^2\ge 0; a^2+3>0$ при любых значениях a, значит, $-\frac{1}{a^2+3}<0$ при любых значениях a, кроме $a^2-4\ne 0;$
$(a-2)(a+2)\ne 0$
$$\begin{gathered} a-2\ne 0 \\ a\ne 2 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} a+2\ne 0 \\ a\ne -2 \end{gathered}$$

например, a=0

$$\begin{gathered} \raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\displaystyle \underset{a=0}{ }}$}\right.=\frac{0^2-4}{12+0^2-0^4}= \\ =\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}<0 \end{gathered}$$

1) Выберите произвольное значение a, отличное от ?2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

Выберем произвольное значение $a$, например, $a=1$. Это значение удовлетворяет условию $a \ne -2$ и $a \ne 2$.
Подставим $a=1$ в данную дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = \frac{1^2 - 4}{12 + 1^2 - 1^4} = \frac{1 - 4}{12 + 1 - 1} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} $$ Полученное значение $-\frac{1}{4}$ является отрицательным числом, то есть $-\frac{1}{4} < 0$.
Проверим еще одно значение, например, $a=3$: $$ \frac{3^2 - 4}{12 + 3^2 - 3^4} = \frac{9 - 4}{12 + 9 - 81} = \frac{5}{21 - 81} = \frac{5}{-60} = -\frac{1}{12} $$ Это значение также отрицательное: $-\frac{1}{12} < 0$.
На основе этих примеров можно предположить, что утверждение верно.

Ответ: При $a=1$ значение дроби равно $-\frac{1}{4}$, что меньше нуля.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

Чтобы определить знак дроби для всех допустимых значений $a$, необходимо проанализировать знаки ее числителя и знаменателя. Наиболее эффективным преобразованием для этого является разложение числителя и знаменателя на множители. Это позволит сократить дробь и упростить ее для анализа знака. Если после сокращения выражение будет иметь постоянный знак, мы сможем ответить на вопрос задачи.

Ответ: Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением дроби.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Исходная дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $$ Разложим на множители числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $$ Теперь преобразуем и разложим на множители знаменатель. Для удобства вынесем минус за скобки и перепишем многочлен в стандартном виде: $$ 12 + a^2 - a^4 = -(a^4 - a^2 - 12) $$ Рассмотрим выражение в скобках как квадратный трехчлен относительно $a^2$. Сделаем замену $x = a^2$: $$ x^2 - x - 12 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Тогда трехчлен можно разложить на множители: $$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$ Вернемся к переменной $a$: $$ (a^2 - 4)(a^2 + 3) $$ Таким образом, знаменатель равен: $$ 12 + a^2 - a^4 = -(a^2 - 4)(a^2 + 3) $$ Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} $$ По условию задачи, $a \ne -2$ и $a \ne 2$, следовательно, $a^2 \ne 4$, а значит $a^2 - 4 \ne 0$. Поэтому мы можем сократить дробь на $(a^2 - 4)$: $$ \frac{1}{-(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} $$ Теперь проанализируем знак полученного выражения.

• Для любого действительного числа $a$, $a^2 \ge 0$.
• Следовательно, $a^2 + 3 \ge 3$, то есть знаменатель $a^2 + 3$ всегда является положительным числом.
• Выражение $-\frac{1}{a^2 + 3}$ представляет собой частное от деления отрицательного числа (-1) на положительное число ($a^2 + 3$).
• Результат такого деления всегда отрицателен.

Таким образом, при всех значениях $a$, отличных от -2 и 2, значение дроби действительно является отрицательным числом.

Ответ: Да, верно. При всех значениях $a$, отличных от -2 и 2, значение дроби является отрицательным числом.