Номер 44, страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 44, страница 17.

44. Упростите выражение:

a) x⁶ + x⁴x⁴ + x²;

б) y⁶ - y⁸y⁴ - y²;

в) b⁷ - b¹⁰b⁵ - b²;

г) c⁶ - c⁴c³ - c².

a) $\frac{x^6+x^4}{x^4+x^2}=\frac{x^4(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}=\frac{x^4}{x^2}=x^2;$

б) $\frac{y^6-y^8}{y^4-y^2}=\frac{y^6(1-y^2)}{y^2(y^2-1)}=\frac{y^4(1-y^2)}{-(1-y^2)}=-y^4;$

в) $\frac{b^7-b^{10}}{b^5-b^2}=\frac{b^7(1-b^3)}{b^2(b^3-1)}=\frac{b^5(1-b^3)}{-(1-b^3)}=-b^5;$

г) $$\begin{gathered} \frac{c^6-c^4}{c^3-c^2}=\frac{c^4(c^2-1)}{c^2(c-1)}=\frac{c^2(c-1)(c+1)}{c-1}= \\ =c^2(c+1)=c^3+c^2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого вынесем общий множитель за скобки.

В числителе $x^6 + x^4$ общим множителем является $x^4$. Выносим его за скобки: $x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1)$.

В знаменателе $x^4 + x^2$ общим множителем является $x^2$. Выносим его за скобки: $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$.

Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$. Это возможно при условии, что $x^2 + 1 \neq 0$ (что верно для любых действительных $x$) и исходный знаменатель не равен нулю, то есть $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{x^4}{x^2}$.

По свойству деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем: $x^{4-2} = x^2$.

Ответ: $x^2$.

б) Упростим выражение $\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2}$. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе $y^6 - y^8$ вынесем за скобки $y^6$: $y^6(1 - y^2)$.

В знаменателе $y^4 - y^2$ вынесем за скобки $y^2$: $y^2(y^2 - 1)$.

Дробь принимает вид: $\frac{y^6(1 - y^2)}{y^2(y^2 - 1)}$.

Заметим, что выражения $(1 - y^2)$ и $(y^2 - 1)$ являются противоположными, то есть $1 - y^2 = -(y^2 - 1)$. Заменим выражение в числителе: $\frac{-y^6(y^2 - 1)}{y^2(y^2 - 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(y^2 - 1)$, при условии, что $y^2 - 1 \neq 0$ ($y \neq \pm 1$) и исходный знаменатель не равен нулю ($y \neq 0$).

Получаем: $\frac{-y^6}{y^2}$.

По свойству степеней: $-y^{6-2} = -y^4$.

Ответ: $-y^4$.

в) Упростим выражение $\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2}$.

Вынесем общий множитель в числителе, $b^7$: $b^7(1 - b^3)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе, $b^2$: $b^2(b^3 - 1)$.

Дробь запишется в виде: $\frac{b^7(1 - b^3)}{b^2(b^3 - 1)}$.

Выражения $1 - b^3$ и $b^3 - 1$ противоположны: $1 - b^3 = -(b^3 - 1)$. Сделаем замену в числителе:

$\frac{-b^7(b^3 - 1)}{b^2(b^3 - 1)}$.

Сократим на общий множитель $(b^3 - 1)$, при условии что $b^3 - 1 \neq 0$ ($b \neq 1$) и $b \neq 0$.

Остается: $\frac{-b^7}{b^2} = -b^{7-2} = -b^5$.

Ответ: $-b^5$.

г) Упростим выражение $\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2}$.

В числителе вынесем за скобки $c^4$: $c^4(c^2 - 1)$.

В знаменателе вынесем за скобки $c^2$: $c^2(c - 1)$.

Получаем дробь: $\frac{c^4(c^2 - 1)}{c^2(c - 1)}$.

Выражение в скобках в числителе $c^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)$.

Подставим разложение в дробь: $\frac{c^4(c - 1)(c + 1)}{c^2(c - 1)}$.

Сократим общие множители $c^2$ и $(c - 1)$, при условии $c \neq 0$ и $c \neq 1$.

$\frac{c^4}{c^2} \cdot \frac{(c - 1)}{(c - 1)} \cdot (c+1) = c^{4-2} \cdot 1 \cdot (c+1) = c^2(c+1)$.

Выражение можно оставить в таком виде или раскрыть скобки: $c^3 + c^2$.

Ответ: $c^2(c+1)$.