Страница 17 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Сократите дробь:

a) a(x - 2y)b(2y - x);

б) 5x(x - y)x³(y - x);

в) 3a - 3612b - ab;

г) 7b - 14b²42b² - 21b.

д) 25 - a²3a - 15;

е) 3 - 3xx² - 2x + 1;

ж) 8b² - 8a²a² - 2ab + b²;

з) (b - 2)³(2 - b)².

a) $\frac{a(x-2y)}{b(2y-x)}=\frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)}=-\frac{a}{b};$

б) $\frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)}=\frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)}=-\frac{5}{x^2};$

в) $\frac{3a-36}{12b-ab}=\frac{3(a-12)}{b(12-a)}=\frac{3(a-12)}{-b(a-12)}=-\frac{3}{b};$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{7b-14b^2}{42b^2-21b}=\frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)}=\frac{1-2b}{3(2b-1)}= \\ =\frac{-(2b-1)}{3(2b-1)}=-\frac{1}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{25-a^2}{3a-15}=\frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)}=\frac{-(a-5)(a+5)}{3(a-5)}= \\ =-\frac{a+5}{3}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{3-3x}{x^2-2x+1}=\frac{3(1-x)}{{(x-1)}^2}=\frac{3(1-x)}{(-{(1-x))}^2}= \\ =\frac{3(1-x)}{{(1-x)}^2}=\frac{3}{1-x}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{8(b^2-a^2)}{{(a-b)}^2}=\frac{8(b-a)(b+a)}{{(a-b)}^2}= \\ =\frac{8(b-a)(a+b)}{(-{(b-a))}^2}=\frac{8(b-a)(a+b)}{{(b-a)}^2}=\frac{8(a+b)}{b-a}; \end{gathered}$$

з) $\frac{{(b-2)}^3}{{(2-b)}^2}=\frac{{(b-2)}^3}{(-{(b-2))}^2}=\frac{{(b-2)}^3}{{(b-2)}^2}=b-2$

а) Рассмотрим дробь $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$. Чтобы сократить дробь, необходимо иметь одинаковые множители в числителе и знаменателе. Заметим, что выражения в скобках являются противоположными: $2y - x = -(x - 2y)$.
Подставим это в знаменатель: $\frac{a(x - 2y)}{b \cdot (-(x - 2y))} = \frac{a(x - 2y)}{-b(x - 2y)}$.
Теперь можно сократить общий множитель $(x - 2y)$, при условии что он не равен нулю ($x \neq 2y$).
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Ответ: $-\frac{a}{b}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$. Выражения в скобках являются противоположными: $y - x = -(x - y)$.
Перепишем дробь: $\frac{5x(x - y)}{x^3 \cdot (-(x - y))} = \frac{5x(x - y)}{-x^3(x - y)}$.
Сократим общий множитель $(x - y)$, при условии $x \neq y$.
$\frac{5x}{-x^3}$.
Теперь сократим $x$ в числителе и $x^3$ в знаменателе: $\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 36}{12b - ab}$. Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3$: $3a - 36 = 3(a - 12)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $12b - ab = b(12 - a)$.
Дробь примет вид: $\frac{3(a - 12)}{b(12 - a)}$.
Выражения $a - 12$ и $12 - a$ являются противоположными: $a - 12 = -(12 - a)$.
Подставим это в числитель: $\frac{-3(12 - a)}{b(12 - a)}$.
Сократим общий множитель $(12 - a)$: $\frac{-3}{b} = -\frac{3}{b}$.
Ответ: $-\frac{3}{b}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $7b$: $7b(1 - 2b)$.
В знаменателе вынесем за скобки $21b$: $21b(2b - 1)$.
Дробь примет вид: $\frac{7b(1 - 2b)}{21b(2b - 1)}$.
Выражения в скобках $1 - 2b$ и $2b - 1$ противоположны: $1 - 2b = -(2b - 1)$.
Перепишем дробь: $\frac{-7b(2b - 1)}{21b(2b - 1)}$.
Сократим общие множители $7b$ и $(2b - 1)$: $\frac{-7b}{21b} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является разностью квадратов: $25 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$.
В знаменателе вынесем за скобки $3$: $3(a - 5)$.
Дробь примет вид: $\frac{(5 - a)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Выражения $5 - a$ и $a - 5$ противоположны: $5 - a = -(a - 5)$.
Перепишем дробь: $\frac{-(a - 5)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Сократим общий множитель $(a - 5)$: $\frac{-(5 + a)}{3} = -\frac{a+5}{3}$.
Ответ: $-\frac{a+5}{3}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $3$: $3(1 - x)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Дробь примет вид: $\frac{3(1 - x)}{(x - 1)^2}$.
Выражения $1 - x$ и $x - 1$ противоположны: $1 - x = -(x - 1)$.
Перепишем дробь: $\frac{-3(x - 1)}{(x - 1)^2}$.
Сократим дробь на $(x - 1)$: $\frac{-3}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{-3}{x - 1}$.

ж) Рассмотрим дробь $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $8$ и применим формулу разности квадратов: $8(b^2 - a^2) = 8(b - a)(b + a)$.
Знаменатель является квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Дробь примет вид: $\frac{8(b - a)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Выражения $b - a$ и $a - b$ противоположны: $b - a = -(a - b)$.
Перепишем дробь: $\frac{-8(a - b)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Сократим дробь на $(a - b)$: $\frac{-8(b + a)}{a - b}$ или $\frac{-8(a + b)}{a - b}$.
Ответ: $\frac{-8(a + b)}{a - b}$.

з) Рассмотрим дробь $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$. Используем свойство, что квадрат числа равен квадрату противоположного ему числа: $(2 - b)^2 = (-(b - 2))^2 = (b - 2)^2$.
Перепишем дробь: $\frac{(b - 2)^3}{(b - 2)^2}$.
Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $(b - 2)^{3-2} = b - 2$.
Ответ: $b - 2$.

43. Сократите дробь:

a) ax + bx - ay - bybx - by;

б) ab - 3b - 2a + 615 - 5a;

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{ax+bx-ay-by}{bx-by}=\frac{(ax+bx)-(ay+by)}{b(x-y)}= \\ =\frac{x(a+b)-y(a+b)}{b(x-y)}=\frac{(a+b)(x-y)}{b(x-y)}=\frac{a+b}{b}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{ab-3b-2a+6}{15-5a}=\frac{(ab-3b)-(2a-6)}{5(3-a)}= \\ =\frac{b(a-3)-2(a-3)}{-5(a-3)}=\frac{(a-3)(b-2)}{-5(a-3)}= \\ =-\frac{b-2}{5}=\frac{2-b}{5} \end{gathered}$$

а) $\frac{ax + bx - ay - by}{bx - by}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $ax + bx - ay - by$. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки. Способ группировки: $(ax + bx) - (ay + by)$.
Выносим $x$ из первой группы и $y$ из второй:
$x(a + b) - y(a + b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:
$(a + b)(x - y)$.

2. Разложим на множители знаменатель $bx - by$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$bx - by = b(x - y)$.

3. Подставим полученные разложения обратно в дробь:
$\frac{(a + b)(x - y)}{b(x - y)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x - y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$):
$\frac{(a + b)\cancel{(x - y)}}{b\cancel{(x - y)}} = \frac{a + b}{b}$.

Ответ: $\frac{a + b}{b}$.

б) $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $ab - 3b - 2a + 6$. Сгруппируем слагаемые: $(ab - 3b) - (2a - 6)$. Обратите внимание на смену знака у 6 при вынесении минуса за скобку.
Выносим общие множители из каждой группы: $b(a - 3) - 2(a - 3)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$ за скобки:
$(a - 3)(b - 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $15 - 5a$. Вынесем общий множитель $5$ за скобки:
$15 - 5a = 5(3 - a)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a - 3)(b - 2)}{5(3 - a)}$.

4. Заметим, что выражения $(a - 3)$ и $(3 - a)$ являются противоположными, то есть $(3 - a) = -(a - 3)$. Преобразуем знаменатель:
$5(3 - a) = 5 \cdot (-(a - 3)) = -5(a - 3)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{(a - 3)(b - 2)}{-5(a - 3)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(a - 3)$, при условии, что $a - 3 \neq 0$ (т.е. $a \neq 3$):
$\frac{\cancel{(a - 3)}(b - 2)}{-5\cancel{(a - 3)}} = \frac{b - 2}{-5}$.

Чтобы избавиться от знака минус в знаменателе, можно вынести его перед всей дробью или поменять знаки в числителе:
$\frac{b - 2}{-5} = -\frac{b - 2}{5} = \frac{-(b - 2)}{5} = \frac{2 - b}{5}$.

Ответ: $\frac{2 - b}{5}$.

44. Упростите выражение:

a) x⁶ + x⁴x⁴ + x²;

б) y⁶ - y⁸y⁴ - y²;

в) b⁷ - b¹⁰b⁵ - b²;

г) c⁶ - c⁴c³ - c².

a) $\frac{x^6+x^4}{x^4+x^2}=\frac{x^4(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}=\frac{x^4}{x^2}=x^2;$

б) $\frac{y^6-y^8}{y^4-y^2}=\frac{y^6(1-y^2)}{y^2(y^2-1)}=\frac{y^4(1-y^2)}{-(1-y^2)}=-y^4;$

в) $\frac{b^7-b^{10}}{b^5-b^2}=\frac{b^7(1-b^3)}{b^2(b^3-1)}=\frac{b^5(1-b^3)}{-(1-b^3)}=-b^5;$

г) $$\begin{gathered} \frac{c^6-c^4}{c^3-c^2}=\frac{c^4(c^2-1)}{c^2(c-1)}=\frac{c^2(c-1)(c+1)}{c-1}= \\ =c^2(c+1)=c^3+c^2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого вынесем общий множитель за скобки.

В числителе $x^6 + x^4$ общим множителем является $x^4$. Выносим его за скобки: $x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1)$.

В знаменателе $x^4 + x^2$ общим множителем является $x^2$. Выносим его за скобки: $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$.

Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$. Это возможно при условии, что $x^2 + 1 \neq 0$ (что верно для любых действительных $x$) и исходный знаменатель не равен нулю, то есть $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$.

После сокращения получаем: $\frac{x^4}{x^2}$.

По свойству деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем: $x^{4-2} = x^2$.

Ответ: $x^2$.

б) Упростим выражение $\frac{y^6 - y^8}{y^4 - y^2}$. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе $y^6 - y^8$ вынесем за скобки $y^6$: $y^6(1 - y^2)$.

В знаменателе $y^4 - y^2$ вынесем за скобки $y^2$: $y^2(y^2 - 1)$.

Дробь принимает вид: $\frac{y^6(1 - y^2)}{y^2(y^2 - 1)}$.

Заметим, что выражения $(1 - y^2)$ и $(y^2 - 1)$ являются противоположными, то есть $1 - y^2 = -(y^2 - 1)$. Заменим выражение в числителе: $\frac{-y^6(y^2 - 1)}{y^2(y^2 - 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(y^2 - 1)$, при условии, что $y^2 - 1 \neq 0$ ($y \neq \pm 1$) и исходный знаменатель не равен нулю ($y \neq 0$).

Получаем: $\frac{-y^6}{y^2}$.

По свойству степеней: $-y^{6-2} = -y^4$.

Ответ: $-y^4$.

в) Упростим выражение $\frac{b^7 - b^{10}}{b^5 - b^2}$.

Вынесем общий множитель в числителе, $b^7$: $b^7(1 - b^3)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе, $b^2$: $b^2(b^3 - 1)$.

Дробь запишется в виде: $\frac{b^7(1 - b^3)}{b^2(b^3 - 1)}$.

Выражения $1 - b^3$ и $b^3 - 1$ противоположны: $1 - b^3 = -(b^3 - 1)$. Сделаем замену в числителе:

$\frac{-b^7(b^3 - 1)}{b^2(b^3 - 1)}$.

Сократим на общий множитель $(b^3 - 1)$, при условии что $b^3 - 1 \neq 0$ ($b \neq 1$) и $b \neq 0$.

Остается: $\frac{-b^7}{b^2} = -b^{7-2} = -b^5$.

Ответ: $-b^5$.

г) Упростим выражение $\frac{c^6 - c^4}{c^3 - c^2}$.

В числителе вынесем за скобки $c^4$: $c^4(c^2 - 1)$.

В знаменателе вынесем за скобки $c^2$: $c^2(c - 1)$.

Получаем дробь: $\frac{c^4(c^2 - 1)}{c^2(c - 1)}$.

Выражение в скобках в числителе $c^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)$.

Подставим разложение в дробь: $\frac{c^4(c - 1)(c + 1)}{c^2(c - 1)}$.

Сократим общие множители $c^2$ и $(c - 1)$, при условии $c \neq 0$ и $c \neq 1$.

$\frac{c^4}{c^2} \cdot \frac{(c - 1)}{(c - 1)} \cdot (c+1) = c^{4-2} \cdot 1 \cdot (c+1) = c^2(c+1)$.

Выражение можно оставить в таком виде или раскрыть скобки: $c^3 + c^2$.

Ответ: $c^2(c+1)$.

45. Найдите значение выражения:

a) a⁸ + a⁵a⁵ + a² при a = -12;

б) b¹⁰ + b⁸b⁸ + b⁶ при b = -0,1.

a) $\frac{a^8+a^5}{a^5+a^2}=\frac{a^5(a^3+1)}{a^2(a^3+1)}=a^3$
при $\mathit{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{;} {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$

б) $\frac{b^{10}-b^8}{b^8-b^6}=\frac{b^8(b^2-1)}{b^6(b^2-1)}=b^2$
при $\mathit{b}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{;} {\left(-0,1\right)}^2=0,01$

а)

Для нахождения значения выражения $\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$ сначала упростим его.

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $a^5$, а в знаменателе $a^2$.

Числитель: $a^8 + a^5 = a^5(a^{8-5} + a^{5-5}) = a^5(a^3 + 1)$.

Знаменатель: $a^5 + a^2 = a^2(a^{5-2} + a^{2-2}) = a^2(a^3 + 1)$.

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{a^8 + a^5}{a^5 + a^2} = \frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)}$.

3. Так как $a = -\frac{1}{2}$, то $a^3+1 = (-\frac{1}{2})^3 + 1 = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a^3 + 1)$.

$\frac{a^5(a^3 + 1)}{a^2(a^3 + 1)} = \frac{a^5}{a^2}$.

4. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3$.

5. Теперь подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$a^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б)

Для нахождения значения выражения $\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6}$ при $b = -0,1$ сначала упростим его.

1. Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе. В числителе это $b^8$, а в знаменателе $b^6$.

Числитель: $b^{10} - b^8 = b^8(b^{10-8} - b^{8-8}) = b^8(b^2 - 1)$.

Знаменатель: $b^8 - b^6 = b^6(b^{8-6} - b^{6-6}) = b^6(b^2 - 1)$.

2. Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{b^{10} - b^8}{b^8 - b^6} = \frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)}$.

3. Так как $b = -0,1$, то $b^2-1 = (-0,1)^2 - 1 = 0,01 - 1 = -0,99 \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(b^2 - 1)$.

$\frac{b^8(b^2 - 1)}{b^6(b^2 - 1)} = \frac{b^8}{b^6}$.

4. Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{b^8}{b^6} = b^{8-6} = b^2$.

5. Теперь подставим значение $b = -0,1$ в упрощенное выражение:

$b^2 = (-0,1)^2 = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

46. Сократите дробь:

a) (2a - 2b)²a - b;

б) (3c + 9d)²c + 3d;

в) (3x + 6y)²5x + 10y;

г) 4x² - y²(10x + 5y)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{(2a-2b)}^2}{a-b}=\frac{(2{(a-b))}^2}{a-b}=\frac{4{(a-b)}^2}{a-b}= \\ =4(a-b)=4a-4b; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(3c+9d)}^2}{c+3d}=\frac{(3{(c+3d))}^2}{c+3d}=\frac{9{(c+3d)}^2}{c+3d}= \\ =9(c+3d)=9c+27d; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(3x+6y)}^2}{5x+10y}=\frac{(3{(x+2y))}^2}{5(x+2y)}=\frac{9{(x+2y)}^2}{5(x+2y)}= \\ =\frac{9(x+2y)}{5}=\frac{9x+18y}{5}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4x^2-y^2}{{(10x+5y)}^2}=\frac{(2x-y)(2x+y)}{(5{(2x+y))}^2}= \\ =\frac{(2x-y)(2x+y)}{25{(2x+y)}^2}=\frac{2x-y}{25(2x+y)}=\frac{2x-y}{50x+25y} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$, сначала преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 2 за скобки в выражении $(2a - 2b)$: $2a - 2b = 2(a - b)$. Теперь числитель можно записать как $(2(a - b))^2$. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $(2(a - b))^2 = 2^2 \cdot (a - b)^2 = 4(a - b)^2$. Подставим преобразованный числитель обратно в дробь: $\frac{4(a - b)^2}{a - b}$. Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a - b \neq 0$: $\frac{4(a - b)^2}{a - b} = 4(a - b)$. Ответ: $4(a - b)$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}$. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения в скобках: $3c + 9d = 3(c + 3d)$. Тогда числитель примет вид $(3(c + 3d))^2$. Возведем в квадрат: $(3(c + 3d))^2 = 3^2 \cdot (c + 3d)^2 = 9(c + 3d)^2$. Подставим это в исходную дробь: $\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d}$. Сократим дробь на общий множитель $(c + 3d)$, при условии, что $c + 3d \neq 0$: $\frac{9(c + 3d)^2}{c + 3d} = 9(c + 3d)$. Ответ: $9(c + 3d)$.

в) Дана дробь $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$. Для сокращения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель 3 из выражения в скобках, а затем возведем в квадрат: $(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 3^2 (x + 2y)^2 = 9(x + 2y)^2$. В знаменателе вынесем общий множитель 5: $5x + 10y = 5(x + 2y)$. Теперь наша дробь выглядит так: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$, при условии, что $x + 2y \neq 0$: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)} = \frac{9(x + 2y)}{5}$. Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}$. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = y$: $4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$. Теперь преобразуем знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 5 из выражения в скобках: $(10x + 5y)^2 = (5(2x + y))^2$. Возведем в квадрат: $(5(2x + y))^2 = 5^2 (2x + y)^2 = 25(2x + y)^2$. Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2}$. Сократим дробь на общий множитель $(2x + y)$, при условии, что $2x + y \neq 0$: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{25(2x + y)^2} = \frac{2x - y}{25(2x + y)}$. Ответ: $\frac{2x - y}{25(2x + y)}$.

47. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от –2 и 2, значение дроби a² - 412 + a² - a⁴ является отрицательным числом?

1) Выберите произвольное значение a, отличное от –2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}=\frac{a^2-4}{-(a^4-a^2-12)}= \\ =-\frac{a^2-4}{a^4-4a^2+3a^2-12}= \\ =-\frac{a^2-4}{(a^4-4a^2)+(3a^2-12)}= \\ =-\frac{a^2-4}{a^2(a^2-4)+3(a^2-4)}= \\ =-\frac{a^2-4}{(a^2-4)(a^2+3)}-\frac{1}{a^2+3} \end{gathered}$$
$a^2\ge 0; a^2+3>0$ при любых значениях a, значит, $-\frac{1}{a^2+3}<0$ при любых значениях a, кроме $a^2-4\ne 0;$
$(a-2)(a+2)\ne 0$
$$\begin{gathered} a-2\ne 0 \\ a\ne 2 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} a+2\ne 0 \\ a\ne -2 \end{gathered}$$

например, a=0

$$\begin{gathered} \raisebox{1ex}{${\displaystyle \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\displaystyle \underset{a=0}{ }}$}\right.=\frac{0^2-4}{12+0^2-0^4}= \\ =\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}<0 \end{gathered}$$

1) Выберите произвольное значение a, отличное от ?2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.

Выберем произвольное значение $a$, например, $a=1$. Это значение удовлетворяет условию $a \ne -2$ и $a \ne 2$.
Подставим $a=1$ в данную дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} = \frac{1^2 - 4}{12 + 1^2 - 1^4} = \frac{1 - 4}{12 + 1 - 1} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} $$ Полученное значение $-\frac{1}{4}$ является отрицательным числом, то есть $-\frac{1}{4} < 0$.
Проверим еще одно значение, например, $a=3$: $$ \frac{3^2 - 4}{12 + 3^2 - 3^4} = \frac{9 - 4}{12 + 9 - 81} = \frac{5}{21 - 81} = \frac{5}{-60} = -\frac{1}{12} $$ Это значение также отрицательное: $-\frac{1}{12} < 0$.
На основе этих примеров можно предположить, что утверждение верно.

Ответ: При $a=1$ значение дроби равно $-\frac{1}{4}$, что меньше нуля.

2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.

Чтобы определить знак дроби для всех допустимых значений $a$, необходимо проанализировать знаки ее числителя и знаменателя. Наиболее эффективным преобразованием для этого является разложение числителя и знаменателя на множители. Это позволит сократить дробь и упростить ее для анализа знака. Если после сокращения выражение будет иметь постоянный знак, мы сможем ответить на вопрос задачи.

Ответ: Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением дроби.

3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Исходная дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} $$ Разложим на множители числитель, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ a^2 - 4 = (a-2)(a+2) $$ Теперь преобразуем и разложим на множители знаменатель. Для удобства вынесем минус за скобки и перепишем многочлен в стандартном виде: $$ 12 + a^2 - a^4 = -(a^4 - a^2 - 12) $$ Рассмотрим выражение в скобках как квадратный трехчлен относительно $a^2$. Сделаем замену $x = a^2$: $$ x^2 - x - 12 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Тогда трехчлен можно разложить на множители: $$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$ Вернемся к переменной $a$: $$ (a^2 - 4)(a^2 + 3) $$ Таким образом, знаменатель равен: $$ 12 + a^2 - a^4 = -(a^2 - 4)(a^2 + 3) $$ Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $$ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} $$ По условию задачи, $a \ne -2$ и $a \ne 2$, следовательно, $a^2 \ne 4$, а значит $a^2 - 4 \ne 0$. Поэтому мы можем сократить дробь на $(a^2 - 4)$: $$ \frac{1}{-(a^2 + 3)} = -\frac{1}{a^2 + 3} $$ Теперь проанализируем знак полученного выражения.

• Для любого действительного числа $a$, $a^2 \ge 0$.
• Следовательно, $a^2 + 3 \ge 3$, то есть знаменатель $a^2 + 3$ всегда является положительным числом.
• Выражение $-\frac{1}{a^2 + 3}$ представляет собой частное от деления отрицательного числа (-1) на положительное число ($a^2 + 3$).
• Результат такого деления всегда отрицателен.

Таким образом, при всех значениях $a$, отличных от -2 и 2, значение дроби действительно является отрицательным числом.

Ответ: Да, верно. При всех значениях $a$, отличных от -2 и 2, значение дроби является отрицательным числом.

48. Докажите, что значение дроби не зависит от n , где n — натуральное число:

a) 3ⁿ ⁺ ² - 3ⁿ3ⁿ ⁺ ² + 3ⁿ ⁺ ¹ + 3ⁿ;

б) 16ⁿ ⁺ ¹ - 2ⁿ ⁺ ⁴4 ∙ 2ⁿ(2³ⁿ - 1);

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}=\frac{3^n(3^2-1)}{3^n(3^2+3+1)}= \\ =\frac{9-1}{9+3+1}=\frac{8}{13} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{16}^{n+1}-2^{n+4}}{4·2^n(2^{3n}-1)}=\frac{{\left(2^4\right)}^{n+1}-2^{n+4}}{2^2·2^n(2^{3n}-1)}= \\ =\frac{2^{4n+4}-2^{n+4}}{2^{n+2}(2^{3n}-1)}=\frac{2^{n+4}(2^{3n}-1)}{2^{n+2}(2^{3n}-1)}= \\ =\frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}=2^{n+4-n-2}=2^2=4 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение дроби не зависит от n, упростим данное выражение, используя свойства степеней, в частности, вынесение общего множителя за скобки.

Исходная дробь: $ \frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} $

Преобразуем числитель, используя свойство $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Вынесем за скобки общий множитель $3^n$:

$3^{n+2} - 3^n = 3^n \cdot 3^2 - 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 - 1) = 3^n(9 - 1) = 8 \cdot 3^n$

Преобразуем знаменатель. Аналогично вынесем за скобки общий множитель $3^n$:

$3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3^1 + 3^n \cdot 1 = 3^n(3^2 + 3 + 1) = 3^n(9 + 3 + 1) = 13 \cdot 3^n$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$ \frac{8 \cdot 3^n}{13 \cdot 3^n} $

Поскольку n — натуральное число, $3^n \ne 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $3^n$:

$ \frac{8}{13} $

Полученное значение является константой и не зависит от n, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{8}{13} $

б) Для доказательства упростим второе выражение. Для этого приведем все степени к одному основанию 2, используя свойства $ (a^m)^k = a^{mk} $ и $ a^{m+k} = a^m \cdot a^k $.

Исходная дробь: $ \frac{16^{n+1} - 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} - 1)} $

Преобразуем числитель. Заметим, что $16 = 2^4$.

$16^{n+1} - 2^{n+4} = (2^4)^{n+1} - 2^{n+4} = 2^{4(n+1)} - 2^{n+4} = 2^{4n+4} - 2^{n+4}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{n+4}$:

$2^{4n+4} - 2^{n+4} = 2^{3n} \cdot 2^{n+4} - 1 \cdot 2^{n+4} = 2^{n+4}(2^{3n} - 1)$

Преобразуем знаменатель. Заметим, что $4 = 2^2$.

$4 \cdot 2^n(2^{3n} - 1) = 2^2 \cdot 2^n(2^{3n} - 1) = 2^{n+2}(2^{3n} - 1)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$ \frac{2^{n+4}(2^{3n} - 1)}{2^{n+2}(2^{3n} - 1)} $

Поскольку n — натуральное число, то $n \ge 1$, и выражение $2^{3n} - 1 \ne 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(2^{3n} - 1)$:

$ \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}} $

Используем свойство степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $:

$ 2^{(n+4) - (n+2)} = 2^{n+4-n-2} = 2^2 = 4 $

Полученное значение равно 4, является константой и не зависит от n, что и требовалось доказать.

Ответ: $4$

49. Приведите к знаменателю 24a³b² следующие дроби:

5b8a³; 7a3b²; 12ab; 2a²b².

$\frac{5b}{8a^3}=\frac{5b·3b^2}{8a^3·3b^2}=\frac{15b^3}{24a^3{b}^2};$

$\frac{7a}{3b^2}=\frac{7a·8a^3}{3b^2·8a^3}=\frac{56a^4}{24a^3{b}^2};$

$\frac{1}{2ab}=\frac{1·12a^{2}b}{2ab·12a^{2}b}=\frac{12a^{2}b}{24a^3{b}^2};$

$\frac{2}{a^2{b}^2}=\frac{2·24a}{a^2{b}^2·24a}=\frac{48a}{24a^3{b}^2}$

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель, а затем умножить на него и числитель, и знаменатель исходной дроби. Дополнительный множитель находится путем деления нового (целевого) знаменателя на старый.

$\frac{5b}{8a^3}$
Целевой знаменатель: $24a^3b^2$.
Текущий знаменатель: $8a^3$.
Дополнительный множитель: $\frac{24a^3b^2}{8a^3} = 3b^2$.
Умножаем числитель и знаменатель на $3b^2$:
$\frac{5b \cdot 3b^2}{8a^3 \cdot 3b^2} = \frac{15b^3}{24a^3b^2}$.
Ответ: $\frac{15b^3}{24a^3b^2}$

$\frac{7a}{3b^2}$
Целевой знаменатель: $24a^3b^2$.
Текущий знаменатель: $3b^2$.
Дополнительный множитель: $\frac{24a^3b^2}{3b^2} = 8a^3$.
Умножаем числитель и знаменатель на $8a^3$:
$\frac{7a \cdot 8a^3}{3b^2 \cdot 8a^3} = \frac{56a^4}{24a^3b^2}$.
Ответ: $\frac{56a^4}{24a^3b^2}$

$\frac{1}{2ab}$
Целевой знаменатель: $24a^3b^2$.
Текущий знаменатель: $2ab$.
Дополнительный множитель: $\frac{24a^3b^2}{2ab} = 12a^2b$.
Умножаем числитель и знаменатель на $12a^2b$:
$\frac{1 \cdot 12a^2b}{2ab \cdot 12a^2b} = \frac{12a^2b}{24a^3b^2}$.
Ответ: $\frac{12a^2b}{24a^3b^2}$

$\frac{2}{a^2b^2}$
Целевой знаменатель: $24a^3b^2$.
Текущий знаменатель: $a^2b^2$.
Дополнительный множитель: $\frac{24a^3b^2}{a^2b^2} = 24a$.
Умножаем числитель и знаменатель на $24a$:
$\frac{2 \cdot 24a}{a^2b^2 \cdot 24a} = \frac{48a}{24a^3b^2}$.
Ответ: $\frac{48a}{24a^3b^2}$