Страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Из выражений -x-y -xy x-y --xy выпишите те, которые:

а) тождественно равны дроби xy;

б) противоположны дроби xy.

а) $\frac{-x}{-y}=\frac{x}{y}; -\frac{-x}{y}=\frac{x}{y}$

б) $\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}$ противоположна дроби $\frac{x}{y}$

$\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}$ противоположна дроби $\frac{x}{y}$

Для решения этой задачи необходимо упростить каждое из предложенных выражений и сравнить его с дробью $\frac{x}{y}$. Мы будем использовать основные правила действий со знаками в дробях:
- Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное: $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$.
- Знак минус можно переносить из числителя в знаменатель или ставить перед дробью: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.

а) тождественно равны дроби $\frac{x}{y}$;

Нам нужно найти выражения, которые после преобразований будут иметь вид $\frac{x}{y}$. Проанализируем каждое выражение из списка: $\frac{-x}{-y}$, $\frac{-x}{y}$, $\frac{x}{-y}$, $-\frac{x}{y}$.
1. Выражение $\frac{-x}{-y}$. Так как деление отрицательного на отрицательное дает положительное, то $\frac{-x}{-y} = \frac{x}{y}$. Это выражение тождественно равно дроби $\frac{x}{y}$.
2. Выражение $\frac{-x}{y}$. Минус в числителе можно вынести перед дробью: $\frac{-x}{y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение не равно $\frac{x}{y}$.
3. Выражение $\frac{x}{-y}$. Минус в знаменателе также можно вынести перед дробью: $\frac{x}{-y} = -\frac{x}{y}$. Это выражение не равно $\frac{x}{y}$.
4. Выражение $-\frac{x}{y}$ является противоположным для $\frac{x}{y}$ и не равно ему (кроме случая $x=0$).
Таким образом, только одно из данных выражений тождественно равно дроби $\frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{-x}{-y}$.

б) противоположны дроби $\frac{x}{y}$.

Противоположным для дроби $\frac{x}{y}$ является выражение $-\frac{x}{y}$. Нам нужно найти все выражения из списка, которые тождественно равны $-\frac{x}{y}$.
1. Выражение $\frac{-x}{-y}$. Как мы выяснили в пункте (а), оно равно $\frac{x}{y}$. Это не противоположное выражение.
2. Выражение $\frac{-x}{y}$. Оно равно $-\frac{x}{y}$ и, следовательно, является противоположным дроби $\frac{x}{y}$.
3. Выражение $\frac{x}{-y}$. Оно также равно $-\frac{x}{y}$ и является противоположным дроби $\frac{x}{y}$.
4. Выражение $-\frac{x}{y}$ по определению является противоположным дроби $\frac{x}{y}$.
Таким образом, три выражения из списка противоположны дроби $\frac{x}{y}$.
Ответ: $\frac{-x}{y}$, $\frac{x}{-y}$, $-\frac{x}{y}$.

40. Упростите выражение:

a) a - bb - a;

б) (a - b)²(b - a)²;

в) (a - b)²b - a;

г) a - b(b - a)².

д) -a - ba + b;

е) (a + b)²(-a - b)²;

ж) (-a - b)²a + b;

з) a - b - cb + c - a.

a) $\frac{a-b}{b-a}=\frac{a-b}{-(a-b)}=-1$

б) $\frac{{(a-b)}^2}{{(b-a)}^2}=\frac{{(a-b)}^2}{(-{(a-b))}^2}=\frac{{(a-b)}^2}{{(a-b)}^2}=1$

в) $\frac{{(a-b)}^2}{b-a}=\frac{(-{(b-a))}^2}{b-a}=\frac{{(b-a)}^2}{b-a}=b-a$

г) $\frac{a-b}{{(b-a)}^2}=\frac{a-b}{(-{(a-b))}^2}=\frac{a-b}{{(a-b)}^2}=\frac{1}{a-b}$

д) $\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1$

е) $\frac{{(a+b)}^2}{{(-a-b)}^2}=\frac{{(a+b)}^2}{(-{(a+b))}^2}=\frac{{(a+b)}^2}{{(a+b)}^2}=1$

ж) $\frac{{(-a-b)}^2}{b+a}=\frac{(-{(a+b))}^2}{b+a}=\frac{{(a+b)}^2}{b+a}=a+b$

з) $\frac{a-b-c}{b+c-a}=\frac{a-b-c}{-(a-b-c)}=-1$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a - b}{b - a}$, вынесем в знаменателе знак минус за скобки. Выражение $b - a$ можно представить как $-(a - b)$. Тогда исходная дробь примет вид: $\frac{a - b}{-(a - b)}$ При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a - b)$. $\frac{a - b}{-(a - b)} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}$. Преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату того же числа с положительным знаком, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Следовательно, выражение можно переписать как: $\frac{(a - b)^2}{(a - b)^2}$ При условии, что $a \neq b$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

в) Упростим выражение $\frac{(a - b)^2}{b - a}$. Как и в пункте а), преобразуем знаменатель: $b - a = -(a - b)$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{(a - b)^2}{-(a - b)}$ При условии, что $a \neq b$, сократим дробь на $(a - b)$: $\frac{a - b}{-1} = -(a - b) = b - a$.
Ответ: $b - a$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{a - b}{(b - a)^2}$. Как и в пункте б), преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (a - b)^2$. Тогда дробь примет вид: $\frac{a - b}{(a - b)^2}$ При условии, что $a \neq b$, сокращаем на общий множитель $(a - b)$: $\frac{1}{a - b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - b}$.

д) Упростим выражение $\frac{-a - b}{a + b}$. В числителе вынесем минус за скобки: $-a - b = -(a + b)$. Подставим в дробь: $\frac{-(a + b)}{a + b}$ При условии, что $a + b \neq 0$, сокращаем на $(a + b)$: $\frac{-1}{1} = -1$.
Ответ: $-1$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{(a + b)^2}{(-a - b)^2}$. Преобразуем выражение в скобках в знаменателе, вынеся минус: $-a - b = -(a + b)$. Тогда знаменатель будет равен: $(- (a + b))^2 = (a + b)^2$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(a + b)^2}{(a + b)^2}$ При условии, что $a + b \neq 0$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

ж) Упростим выражение $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$. Преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки внутри квадрата: $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$. Подставим в дробь: $\frac{(a + b)^2}{a + b}$ При условии, что $a + b \neq 0$, сократим на $(a + b)$: $a + b$.
Ответ: $a + b$.

з) Рассмотрим выражение $\frac{a - b - c}{b + c - a}$. Вынесем минус за скобки в знаменателе, чтобы получить выражение, противоположное числителю: $b + c - a = -( -b - c + a) = -(a - b - c)$. Подставим в исходную дробь: $\frac{a - b - c}{-(a - b - c)}$ При условии, что $a - b - c \neq 0$, сокращаем на $(a - b - c)$: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

41. Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции $\frac{y = (1 - x)²}{x - 1}$ ?

$y=\frac{{(1-x)}^2}{x-1}; y=\frac{(-{(x-1))}^2}{x-1};$

$y=\frac{{(x-1)}^2}{x-1}; y=x-1$ при условии, что $x-1\ne 0;$ $x\ne 1$

Так как у функции y=x-1; k=1>0, то график проходит через I и III четверти

Ответ: 4

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \frac{(1-x)^2}{x-1}$, необходимо проанализировать и упростить данное выражение.

1. Нахождение области определения функции.

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Таким образом, мы имеем ограничение:

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Это означает, что функция не определена в точке $x = 1$. На графике в этой точке должен быть разрыв, который изображается в виде "выколотой" точки.

2. Упрощение функции.

Преобразуем числитель дроби, используя свойство степени $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

$(1-x)^2 = (x-1)^2$

Теперь подставим это выражение обратно в функцию:

$y = \frac{(x-1)^2}{x-1}$

Так как мы уже установили, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$y = x-1$

3. Анализ полученной функции и выбор графика.

Мы выяснили, что график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x-1$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x=1$.

Функция $y = x-1$ — это прямая. Угловой коэффициент $k=1$ (положительный), следовательно, функция возрастает (прямая направлена вверх слева направо). Этому условию соответствуют графики 2 и 4.

Теперь определим координаты выколотой точки. Для этого подставим $x=1$ в упрощенное уравнение $y=x-1$:

$y = 1 - 1 = 0$

Следовательно, на графике должна быть выколотая точка с координатами $(1, 0)$.

Сравним с оставшимися графиками:

• График 2 — это сплошная прямая $y=x-1$. На нем нет выколотой точки, что противоречит области определения функции.
• График 4 — это прямая $y=x-1$ с выколотой точкой в $(1, 0)$. Этот график полностью соответствует нашему анализу.

Ответ: 4