Номер 40, страница 16 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 40, страница 16.

40. Упростите выражение:

a) a - bb - a;

б) (a - b)²(b - a)²;

в) (a - b)²b - a;

г) a - b(b - a)².

д) -a - ba + b;

е) (a + b)²(-a - b)²;

ж) (-a - b)²a + b;

з) a - b - cb + c - a.

a) $\frac{a-b}{b-a}=\frac{a-b}{-(a-b)}=-1$

б) $\frac{{(a-b)}^2}{{(b-a)}^2}=\frac{{(a-b)}^2}{(-{(a-b))}^2}=\frac{{(a-b)}^2}{{(a-b)}^2}=1$

в) $\frac{{(a-b)}^2}{b-a}=\frac{(-{(b-a))}^2}{b-a}=\frac{{(b-a)}^2}{b-a}=b-a$

г) $\frac{a-b}{{(b-a)}^2}=\frac{a-b}{(-{(a-b))}^2}=\frac{a-b}{{(a-b)}^2}=\frac{1}{a-b}$

д) $\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1$

е) $\frac{{(a+b)}^2}{{(-a-b)}^2}=\frac{{(a+b)}^2}{(-{(a+b))}^2}=\frac{{(a+b)}^2}{{(a+b)}^2}=1$

ж) $\frac{{(-a-b)}^2}{b+a}=\frac{(-{(a+b))}^2}{b+a}=\frac{{(a+b)}^2}{b+a}=a+b$

з) $\frac{a-b-c}{b+c-a}=\frac{a-b-c}{-(a-b-c)}=-1$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{a - b}{b - a}$, вынесем в знаменателе знак минус за скобки. Выражение $b - a$ можно представить как $-(a - b)$. Тогда исходная дробь примет вид: $\frac{a - b}{-(a - b)}$ При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a - b)$. $\frac{a - b}{-(a - b)} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}$. Преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату того же числа с положительным знаком, то есть $(-x)^2 = x^2$, получаем $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Следовательно, выражение можно переписать как: $\frac{(a - b)^2}{(a - b)^2}$ При условии, что $a \neq b$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

в) Упростим выражение $\frac{(a - b)^2}{b - a}$. Как и в пункте а), преобразуем знаменатель: $b - a = -(a - b)$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{(a - b)^2}{-(a - b)}$ При условии, что $a \neq b$, сократим дробь на $(a - b)$: $\frac{a - b}{-1} = -(a - b) = b - a$.
Ответ: $b - a$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{a - b}{(b - a)^2}$. Как и в пункте б), преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (a - b)^2$. Тогда дробь примет вид: $\frac{a - b}{(a - b)^2}$ При условии, что $a \neq b$, сокращаем на общий множитель $(a - b)$: $\frac{1}{a - b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - b}$.

д) Упростим выражение $\frac{-a - b}{a + b}$. В числителе вынесем минус за скобки: $-a - b = -(a + b)$. Подставим в дробь: $\frac{-(a + b)}{a + b}$ При условии, что $a + b \neq 0$, сокращаем на $(a + b)$: $\frac{-1}{1} = -1$.
Ответ: $-1$.

е) Рассмотрим выражение $\frac{(a + b)^2}{(-a - b)^2}$. Преобразуем выражение в скобках в знаменателе, вынеся минус: $-a - b = -(a + b)$. Тогда знаменатель будет равен: $(- (a + b))^2 = (a + b)^2$. Исходная дробь примет вид: $\frac{(a + b)^2}{(a + b)^2}$ При условии, что $a + b \neq 0$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

ж) Упростим выражение $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$. Преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки внутри квадрата: $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$. Подставим в дробь: $\frac{(a + b)^2}{a + b}$ При условии, что $a + b \neq 0$, сократим на $(a + b)$: $a + b$.
Ответ: $a + b$.

з) Рассмотрим выражение $\frac{a - b - c}{b + c - a}$. Вынесем минус за скобки в знаменателе, чтобы получить выражение, противоположное числителю: $b + c - a = -( -b - c + a) = -(a - b - c)$. Подставим в исходную дробь: $\frac{a - b - c}{-(a - b - c)}$ При условии, что $a - b - c \neq 0$, сокращаем на $(a - b - c)$: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.