Номер 35, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 35, страница 15.

35. Сократите дробь:

a) x²-4x+4x²-2x;

б) 3y²+24yy²+16y+64;

в) a²+a+1a³-1;

г) b+2b³+8.

a) $\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{x};$

б) $\frac{3y^2+24y}{y^2+16y+64}=\frac{3y\left(y+8\right)}{{\left(y+8\right)}^2}=\frac{3y}{y+8};$

в) $\frac{a^2+a+1}{a^3-1}=\frac{a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{1}{a-1};$

г) $\frac{b+2}{b^3+8}=\frac{b+2}{\left(b+2\right)\left(b^2-2b+4\right)}=\frac{1}{b^2-2b+4}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

В знаменателе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 2x = x(x-2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x} = \frac{(x-2)^2}{x(x-2)}$.

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq 0$):

$\frac{(x-2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x-2)}} = \frac{x-2}{x}$.

Ответ: $\frac{x-2}{x}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $3y^2 + 24y$ вынесем общий множитель $3y$ за скобки:

$3y^2 + 24y = 3y(y + 8)$.

Знаменатель $y^2 + 16y + 64$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$y^2 + 16y + 64 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = (y+8)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64} = \frac{3y(y+8)}{(y+8)^2}$.

Сократим общий множитель $(y+8)$ (при условии, что $y \neq -8$):

$\frac{3y\cancel{(y+8)}}{(y+8)^{\cancel{2}}} = \frac{3y}{y+8}$.

Ответ: $\frac{3y}{y+8}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}$. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $a^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - 1 = a^3 - 1^3 = (a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2 + a + 1)$.

Числитель $a^2 + a + 1$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1} = \frac{a^2 + a + 1}{(a-1)(a^2 + a + 1)}$.

Сократим общий множитель $(a^2 + a + 1)$ (который не равен нулю ни при каких действительных $a$, а также при $a \neq 1$):

$\frac{\cancel{a^2 + a + 1}}{(a-1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{a-1}$.

Ответ: $\frac{1}{a-1}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{b+2}{b^3+8}$. Разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $b^3 + 8$ представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = (b+2)(b^2 - 2b + 4)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{b+2}{b^3+8} = \frac{b+2}{(b+2)(b^2 - 2b + 4)}$.

Сократим общий множитель $(b+2)$ (при условии, что $b \neq -2$):

$\frac{\cancel{b+2}}{\cancel{(b+2)}(b^2 - 2b + 4)} = \frac{1}{b^2 - 2b + 4}$.

Ответ: $\frac{1}{b^2 - 2b + 4}$.