Номер 32, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 32, страница 14.

32. Сократите дробь:

a) y²-163y+12;

б) 5x-15yx²-9y²;

в) (c+2)²7c²+14c;

г) 6cd-18c(d-3)².

д) a²+10a+25a²-25;

е) y²-9y²-6y+9.

a) $\frac{y^2-16}{3y+12}=\frac{\left(y-4\right)\left(y+4\right)}{3\left(y+4\right)}=\frac{y-4}{3};$

б) $\frac{5x-15y}{x^2-9y^2}=\frac{5\left(x-3y\right)}{\left(x-3y\right)\left(x+3y\right)}=\frac{5}{x+3y};$

в) $\frac{{\left(c+2\right)}^2}{7c^2+14c}=\frac{{\left(c+2\right)}^2}{7c\left(c+2\right)}=\frac{c+2}{7c};$

г) $\frac{6cd-18c}{{\left(d-3\right)}^2}=\frac{6c\left(d-3\right)}{{\left(d-3\right)}^2}=\frac{6c}{d-3};$

д) $\frac{a^2+10a+25}{a^2-25}=\frac{{\left(a+5\right)}^2}{\left(a-5\right)\left(a+5\right)}=\frac{a+5}{a-5};$

е) $\frac{y^2-9}{y^2-6y+9}=\frac{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}{{\left(y-3\right)}^2}=\frac{y+3}{y-3}$

а) Для сокращения дроби $\frac{y^2-16}{3y+12}$ необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.
Числитель $y^2-16$ является разностью квадратов. Применяя формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $y^2-16 = y^2-4^2 = (y-4)(y+4)$.
В знаменателе $3y+12$ выносим общий множитель 3 за скобки: $3y+12 = 3(y+4)$.
Подставляем разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)}$.
Сокращаем общий множитель $(y+4)$ в числителе и знаменателе: $\frac{(y-4)\cancel{(y+4)}}{3\cancel{(y+4)}} = \frac{y-4}{3}$.
Ответ: $\frac{y-4}{3}$.

б) Для сокращения дроби $\frac{5x-15y}{x^2-9y^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $5x-15y$ выносим общий множитель 5 за скобки: $5x-15y = 5(x-3y)$.
Знаменатель $x^2-9y^2$ является разностью квадратов $x^2-(3y)^2$. Раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-9y^2 = (x-3y)(x+3y)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{5(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)}$.
Сокращаем общий множитель $(x-3y)$: $\frac{5\cancel{(x-3y)}}{\cancel{(x-3y)}(x+3y)} = \frac{5}{x+3y}$.
Ответ: $\frac{5}{x+3y}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{(c+2)^2}{7c^2+14c}$. Числитель уже разложен на множители. Разложим знаменатель.
В знаменателе $7c^2+14c$ выносим общий множитель $7c$ за скобки: $7c^2+14c = 7c(c+2)$.
Запишем дробь с разложенным знаменателем: $\frac{(c+2)^2}{7c(c+2)} = \frac{(c+2)(c+2)}{7c(c+2)}$.
Сокращаем общий множитель $(c+2)$: $\frac{(c+2)\cancel{(c+2)}}{7c\cancel{(c+2)}} = \frac{c+2}{7c}$.
Ответ: $\frac{c+2}{7c}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{6cd-18c}{(d-3)^2}$. Знаменатель уже разложен на множители. Разложим числитель.
В числителе $6cd-18c$ выносим общий множитель $6c$ за скобки: $6cd-18c = 6c(d-3)$.
Запишем дробь с разложенным числителем: $\frac{6c(d-3)}{(d-3)^2} = \frac{6c(d-3)}{(d-3)(d-3)}$.
Сокращаем общий множитель $(d-3)$: $\frac{6c\cancel{(d-3)}}{(d-3)\cancel{(d-3)}} = \frac{6c}{d-3}$.
Ответ: $\frac{6c}{d-3}$.

д) Для сокращения дроби $\frac{a^2+10a+25}{a^2-25}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2+10a+25$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2+10a+25 = a^2+2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a+5)^2$.
Знаменатель $a^2-25$ является разностью квадратов. Используем формулу $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-25 = a^2-5^2 = (a-5)(a+5)$.
Подставляем разложенные выражения в дробь: $\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{(a+5)(a+5)}{(a-5)(a+5)}$.
Сокращаем общий множитель $(a+5)$: $\frac{(a+5)\cancel{(a+5)}}{(a-5)\cancel{(a+5)}} = \frac{a+5}{a-5}$.
Ответ: $\frac{a+5}{a-5}$.

е) Для сокращения дроби $\frac{y^2-9}{y^2-6y+9}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $y^2-9$ является разностью квадратов. Раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $y^2-9 = y^2-3^2 = (y-3)(y+3)$.
Знаменатель $y^2-6y+9$ является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $y^2-6y+9 = y^2-2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y-3)^2$.
Подставляем разложенные выражения в дробь: $\frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)^2} = \frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)(y-3)}$.
Сокращаем общий множитель $(y-3)$: $\frac{\cancel{(y-3)}(y+3)}{(y-3)\cancel{(y-3)}} = \frac{y+3}{y-3}$.
Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$.