Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 25, страница 14.

25. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь:

a) 2x3x;

б) 15x25y;

в) 6a24a;

г) 7ab21bc.

д) -2xy5x²y;

е) 8x²y²24xy.

a) $\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3};$

б) $\frac{15x}{25y}=\frac{5·3x}{5·5y}=\frac{3x}{5y};$

в) $\frac{6a}{24a}=\frac{6a}{4·6a}=\frac{1}{4};$

г) $\frac{7ab}{21bc}=\frac{a·7b}{3c·7b}=\frac{a}{3c};$

д) $\frac{-2xy}{5x^{2}y}=-\frac{2}{5x};$

е) $\frac{8x^2{y}^2}{24xy}=\frac{xy}{3}$

а) В дроби $\frac{2x}{3x}$ общим множителем для числителя $2x$ и знаменателя $3x$ является переменная $x$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на этот общий множитель: $\frac{2x}{3x} = \frac{2 \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}$.
Ответ: общий множитель $x$, сокращенная дробь $\frac{2}{3}$.

б) Для дроби $\frac{15x}{25y}$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 25. НОД(15, 25) = 5. Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому общий множитель - это только число 5. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15x}{25y} = \frac{3 \cdot 5 \cdot x}{5 \cdot 5 \cdot y} = \frac{3x}{5y}$.
Ответ: общий множитель 5, сокращенная дробь $\frac{3x}{5y}$.

в) Для дроби $\frac{6a}{24a}$ общий множитель включает в себя НОД коэффициентов 6 и 24, который равен 6, и общую переменную $a$. Таким образом, общий множитель равен $6a$. Сокращаем дробь на $6a$: $\frac{6a}{24a} = \frac{1 \cdot 6a}{4 \cdot 6a} = \frac{1}{4}$.
Ответ: общий множитель $6a$, сокращенная дробь $\frac{1}{4}$.

г) В дроби $\frac{7ab}{21bc}$ НОД коэффициентов 7 и 21 равен 7. Общая переменная в числителе и знаменателе - это $b$. Следовательно, общий множитель равен $7b$. Сокращаем дробь на $7b$: $\frac{7ab}{21bc} = \frac{a \cdot (7b)}{3c \cdot (7b)} = \frac{a}{3c}$.
Ответ: общий множитель $7b$, сокращенная дробь $\frac{a}{3c}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{-2xy}{5x^2y}$. Коэффициенты -2 и 5 взаимно просты, их НОД равен 1. Общие переменные в числителе $xy$ и знаменателе $x^2y$ - это $x$ и $y$. Таким образом, общий буквенный множитель равен $xy$. Сокращаем дробь: $\frac{-2xy}{5x^2y} = \frac{-2 \cdot x \cdot y}{5 \cdot x \cdot x \cdot y} = -\frac{2}{5x}$.
Ответ: общий множитель $xy$, сокращенная дробь $-\frac{2}{5x}$.

е) В дроби $\frac{8x^2y^2}{24xy}$ НОД коэффициентов 8 и 24 равен 8. Общая часть переменных в числителе $x^2y^2$ и знаменателе $xy$ - это $xy$. Значит, общий множитель равен $8xy$. Сокращаем дробь на $8xy$: $\frac{8x^2y^2}{24xy} = \frac{xy \cdot (8xy)}{3 \cdot (8xy)} = \frac{xy}{3}$.
Ответ: общий множитель $8xy$, сокращенная дробь $\frac{xy}{3}$.