Номер 21, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 21, страница 10.

21. Верно ли утверждение:

а) наибольшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 1;

б) наибольшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 2;

в) наименьшее значение дроби 184x²+9+y²+4xy равно 2?

$$\begin{gathered} \frac{18}{4x^2+9+y^2+4xy}=\frac{18}{\left(4x^2+4xy+y^2\right)+9}= \\ =\frac{18}{{\left(2x+y\right)}^2+9} \end{gathered}$$
Знаменатель дроби ${\left(2x+y\right)}^2+9$ принимает наименьшее значение при ${\left(2x+y\right)}^2=0,$ значит, дробь $\frac{18}{{\left(2x+y\right)}^2+9}$принимает наибольшее значение при $2x+y=0$ и равно $\frac{18}{0+9}=2$

Ответ: а) нет; б) да; в) нет

Для ответа на все три вопроса, сначала проанализируем выражение в знаменателе дроби: $Z = 4x^2 + 9 + y^2 + 4xy$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$Z = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9$

Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x+y)^2$.

Таким образом, знаменатель можно представить в виде: $Z = (2x+y)^2 + 9$.

Тогда сама дробь имеет вид: $\frac{18}{(2x+y)^2 + 9}$.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение дроби с постоянным числителем, нужно исследовать значения ее знаменателя.

а) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 1;

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении ее знаменателя. Знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9$ принимает наименьшее значение, когда слагаемое $(2x+y)^2$ минимально.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, минимальное значение $(2x+y)^2$ равно 0. Это значение достигается при условии $2x+y=0$ (например, при $x=0, y=0$ или $x=1, y=-2$).

Минимальное значение знаменателя: $Z_{min} = 0 + 9 = 9$.

Следовательно, наибольшее значение дроби равно: $\frac{18}{Z_{min}} = \frac{18}{9} = 2$.

Утверждение, что наибольшее значение дроби равно 1, является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

б) наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2;

Как было показано в пункте а), наибольшее значение дроби достигается при наименьшем значении знаменателя, которое равно 9.

Наибольшее значение дроби составляет $\frac{18}{9} = 2$.

Следовательно, данное утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

в) наименьшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$ равно 2?

Наименьшее значение дроби достигается при наибольшем значении ее знаменателя. Знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9$.

Выражение $(2x+y)^2$ может принимать сколь угодно большие значения (например, если $x$ или $y$ стремятся к бесконечности). Это означает, что знаменатель не ограничен сверху, и у него нет наибольшего значения.

Когда знаменатель $Z$ стремится к бесконечности ($Z \to \infty$), значение дроби $\frac{18}{Z}$ стремится к нулю. Поскольку знаменатель $Z = (2x+y)^2 + 9 \ge 9$, дробь всегда положительна.

Таким образом, значения дроби лежат в интервале $(0, 2]$. У дроби нет наименьшего значения (она только стремится к 0). Утверждение, что наименьшее значение дроби равно 2, неверно, так как 2 является ее наибольшим значением.

Ответ: утверждение неверно.