Номер 15, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 15, страница 9.

15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:

а) y-58;

б) 2y+310;

в) x(x-1)x+4;

г) x(x+3)2x+6?

а) $\frac{y-5}{8}=0$
$$\begin{gathered} y-5=0 \\ y=5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=5

б) $\frac{2y+3}{10}=0$
$$\begin{gathered} 2y+3=0 \\ 2y=-3 \\ y=-1,5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=1,5

в) $\frac{x\left(x-1\right)}{x+4}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x\left(x-1\right)=0\\ x+4\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x-1=0\\ x\ne -4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x=1\\ x\ne -4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при x=0 и при x=1

г) $\frac{x\left(x+3\right)}{2x+6}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x\left(x+3\right)=0\\ 2x+6\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x+3=0\\ 2x\ne -6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=0 или x=-3\\ x\ne -3\end{array}\right.<=>x=0 \end{gathered}$$

Ответ: при x=0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\frac{A}{B} = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B \ne 0 \end{cases}$

а) $\frac{y-5}{8}$

Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю. Приравняем числитель к нулю и найдем значение переменной y:

$y-5=0$

$y=5$

Знаменатель дроби равен 8, что не равно нулю ($8 \ne 0$). Следовательно, условие на знаменатель выполняется. Таким образом, дробь равна нулю при $y=5$.

Ответ: $y=5$

б) $\frac{2y+3}{10}$

Приравняем числитель к нулю:

$2y+3=0$

$2y=-3$

$y=-\frac{3}{2}$ или $y=-1,5$

Знаменатель дроби равен 10, что не равно нулю ($10 \ne 0$). Условие на знаменатель выполняется. Таким образом, дробь равна нулю при $y=-1,5$.

Ответ: $y=-1,5$

в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$

Составим систему условий. Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} x(x-1) = 0 \\ x+4 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x(x-1)=0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x_1=0$ или $x-1=0 \implies x_2=1$

Теперь решим неравенство из второго условия: $x+4 \ne 0 \implies x \ne -4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни $x_1=0$ и $x_2=1$ условию $x \ne -4$.

Для $x_1=0$: $0 \ne -4$ (верно).

Для $x_2=1$: $1 \ne -4$ (верно).

Оба значения переменной подходят, так как при этих значениях числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: $x=0; x=1$

г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$

Составим систему условий: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} x(x+3) = 0 \\ 2x+6 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x(x+3)=0$.

$x_1=0$ или $x+3=0 \implies x_2=-3$

Теперь решим неравенство из второго условия: $2x+6 \ne 0$.

$2x \ne -6$

$x \ne -3$

Проверим найденные корни на соответствие этому условию.

Для $x_1=0$: $0 \ne -3$ (верно). Значит, $x=0$ является решением.

Для $x_2=-3$: $-3 \ne -3$ (неверно). Это значение не является решением, так как при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль ($2(-3)+6 = -6+6=0$), и дробь теряет смысл (деление на ноль).

Таким образом, только одно значение переменной, $x=0$, обращает дробь в ноль.

Ответ: $x=0$