Номер 16, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 16, страница 9.

16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:

a) m+46;

б) 7-5n11;

в) b²-bb+2;

г) y²-253y-15.

а) $\frac{m+4}{6}=0$
$$\begin{gathered} m+4=0 \\ m=-4 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-4

б) $\frac{7-5n}{11}=0$
$$\begin{gathered} 7-5n=0 \\ 5n=7 \\ n=\frac{7}{5} \\ n=1,4 \end{gathered}$$

Ответ: при n=1,4

в) $\frac{b^2-b}{b+2}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{b}^2-b=0\\ b+2\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b\left(b-1\right)=0\\ b\ne -2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b=0 или b-1=0\\ b\ne -2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}b=0 или b=1\\ b\ne -2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: при b=0 и при b=1

г) $\frac{y^2-25}{3y-15}=0$
$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{y}^2-25=0\\ 3y-15\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}\left(y-5\right)\left(y+5\right)=0\\ 3y\ne 15\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y-5=0 или y+5=0\\ y\ne 5\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=5 или y=-5\\ y\ne 5\end{array}\right.<=>y=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при y=-5

а) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Для дроби $\frac{m+4}{6}$ знаменатель равен 6, что не равно нулю. Поэтому для нахождения искомых значений переменной достаточно приравнять числитель к нулю.
Решим уравнение:
$m + 4 = 0$
$m = -4$
При $m = -4$ условие выполняется.
Ответ: -4.

б) Для дроби $\frac{7-5n}{11}$ знаменатель равен 11, что не равно нулю. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти значение $n$, при котором дробь обращается в ноль:
$7 - 5n = 0$
Перенесем $5n$ в правую часть:
$7 = 5n$
Найдем $n$:
$n = \frac{7}{5}$
$n = 1,4$
Ответ: 1,4.

в) Дробь $\frac{b^2 - b}{b + 2}$ равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы условий:
$\begin{cases} b^2 - b = 0 \\ b + 2 \neq 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение $b^2 - b = 0$. Вынесем общий множитель $b$ за скобки:
$b(b - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$b_1 = 0$
$b_2 = 1$
Теперь проверим условие для знаменателя: $b + 2 \neq 0$, что означает $b \neq -2$.
Оба найденных корня, $b=0$ и $b=1$, удовлетворяют этому условию ($0 \neq -2$ и $1 \neq -2$). Следовательно, оба значения являются решениями.
Ответ: 0; 1.

г) Для дроби $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$ составим систему условий, при которых она равна нулю:
$\begin{cases} y^2 - 25 = 0 \\ 3y - 15 \neq 0 \end{cases}$
Решим уравнение для числителя, $y^2 - 25 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(y-5)(y+5) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = 5$
$y_2 = -5$
Теперь решим условие-ограничение для знаменателя: $3y - 15 \neq 0$.
$3y \neq 15$
$y \neq \frac{15}{3}$
$y \neq 5$
Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ). Сравним полученные корни с этим ограничением. Значение $y=5$ не входит в ОДЗ, так как оно обращает знаменатель в ноль, что недопустимо. Значение $y=-5$ удовлетворяет условию $y \neq 5$.
Таким образом, дробь равна нулю только при одном значении переменной.
Ответ: -5.