Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби и их свойства. Глава 1. Рациональные дроби - номер 11, страница 9.

11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) x² – 8x + 9;

б)16x-3;

в)3x-67;

г) x²-84x(x+1);

д) x-5x²+25- 3x;

е) xx+8 + x-8x.

а) $x^2-8x+9$
Ответ: все числа

б) $\frac{1}{6x-3}$
$6x-3\ne 0;$ $6x\ne 3;$ $x\ne \frac{3}{6};$ $x\ne 0,5$
Ответ: все числа, кроме 0,5

в) $\frac{3x-6}{7}$
Ответ: все числа

г) $\frac{x^2-8}{4x\left(x+1\right)}$
$\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -1 и 0

д) $\frac{x-5}{x^2+25}-3x$
Ответ: все числа

е) $\frac{x}{x+8}+\frac{x-8}{x}$
$\left\{\begin{array}{c}x+8\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{c}x\ne -8\\ x\ne 0\end{array}\right.$
Ответ: все числа, кроме -8 и 0

а) Выражение $x^2 - 8x + 9$ является многочленом (целым выражением). Такие выражения определены для любых значений переменной, так как в них отсутствуют операции деления на переменную и извлечения корня.
Ответ: $x$ - любое число.

б) Выражение $\frac{1}{6x - 3}$ является дробным. Допустимые значения переменной для дробных выражений — это все значения, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель $6x - 3$ обращается в ноль.
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6}$
$x = 0.5$
Следовательно, переменная $x$ может принимать любые значения, кроме $0.5$.
Ответ: $x \neq 0.5$.

в) Выражение $\frac{3x - 6}{7}$ является дробным, однако его знаменатель — это число 7, которое не равно нулю и не зависит от переменной $x$. Числитель $3x-6$ является целым выражением и определен для любого $x$. Следовательно, всё выражение определено для любого значения переменной.
Ответ: $x$ - любое число.

г) Выражение $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$ является дробным. Его знаменатель $4x(x + 1)$ не должен равняться нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения.
$4x(x + 1) = 0$
Это равенство выполняется, если:
1) $4x = 0 \implies x = 0$
2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Значит, переменная $x$ не может принимать значения 0 и -1.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

д) Выражение $\frac{x - 5}{x^2 + 25} - 3x$ состоит из дроби и целого выражения $-3x$. Целое выражение определено для всех $x$. Для дроби нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю. Знаменатель дроби равен $x^2 + 25$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 25 \ge 25$. Это означает, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, всё выражение определено для любых значений $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

е) Выражение $\frac{x}{x + 8} + \frac{x - 8}{x}$ является суммой двух дробей. Чтобы оно имело смысл, знаменатель каждой из дробей не должен быть равен нулю.
Для первой дроби знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю:
$x + 8 \neq 0 \implies x \neq -8$.
Для второй дроби знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:
$x \neq 0$.
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения -8 и 0.
Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$.